Table des annales

 

Exercice I : 

1) Montrer que I=M_(1,0)E ; J=M_(0,1)E et 0=M_(0,0)E.

2) a) Soit A=M_(x,y)E et B=M_(a,b)E alors, après calcul, A+B=M_{(x+a , y+b)}E.

     b) Soit A=M_(x,y)E et λR alors, après calcul, λA=M_{(λx , λy)}E.

     c) E est un sous-espace vectoriel de M₂(R).

3) a) Soit A=M_(x,y)E alors, après calcul, A=xI+yJ

     b) Posons xI+yJ=0 et montrons que x=y=0. x=y=0

c) Les deux questions précédentes établissent que I et J constituent une base de E et donc dimE=2

4) a)  

     b) Soit A=M_(x,y)E et B=M_(a,b)E alors, après calcul, A.B=(xI+yJ)(aI+bJ)=xaI+(xb+ya)J+ybJ² or J²=-I+J alors, après calcul, A.B=(xa-yb)I+(xb+ya+yb)JE.

5) a) detM_(x,y)=x²+xy+y²

     b) Si x²+xy+y²>0 alors il est évident que (x,y)≠(0,0)

Inversement supposons (x,y)≠(0,0) alors x²+y²>0. Si x et y sont de même signe alors xy>0 et donc x²+xy+y²>0. Si x et y sont de signes contraires alors -xy>0 et comme x²+xy+y²= x²+2xy-xy+y²=(x+y)²+(-xy)>0.

     c) Comme detM_(x,y)=x²+xy+y² alors, d’après (b), à part 0 toutes les matrices de E sont inversibles.

     d) Soit A=M_(x,y)E calculons l’inverse de A par l’une des méthodes usuelles

 

6) a) Soit A=M_(x,y)E et B=M_(a,b)E on vérifie immédiatement que (A+B)=(A)+(B) et (λA)=λ(A).Par ailleurs (x,y)=(0,0)  x=0 et y=0 alors Ker={0}, et donc  est injective et comme E et R² sont de même dimension (2) alors  est un isomorphisme.

     b) (I)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) et (J)=(0,1)=0(1,0)+1(0,1) donc  

Exercice II : 

1)  

2) detD= det(x²+y²+z²+t²)I₄=  

3) detD=detA^tA=detAdet^tA=detAdetA=(detA)² donc detA= . L’examen du coefficient de x⁴ montre que detA=  

4) Les matrices A inversibles sont celles dont le determinants est non nul, autrement dit les matrices A pour lesquelles l’un au moins des quatre coefficients x, y, z ou t est non nul.