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ALGEBRE LINEAIRE

EXERCICE I :

Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre deux de la forme  où x et y sont deux réels. .

On pose
1) Montrer que I, J et 0 sont trois éléments de E.

2) a) Montrer que la somme de deux éléments de E est un élément de E. (E est stable pour l’addition).

     b) Montrer que le produit d’un élément de E par un réel est un élément de E. (E est stable pour la loi externe).

     c) Que conclure sur E en termes d’espace vectoriel ?

3) a) Montrer que tout élément de E s’écrit comme combinaison linéaire de I et J.

     b) Montrer que I et J sont deux matrices linéairement indépendantes.

       c) Donner une base B et la dimension de E ?

4) a) Calculer J² et l’exprimer en fonction de I et J.

     b) Montrer que le produit de deux éléments de E est un élément de E. (E est stable pour la multiplication).

5) a) Calculer det M_(x,y)

     b) Montrer que pour tout couple (x,y) de réels on a : (x,y)≠(0,0)  x²+xy+ y²>0

     c) Quels sont les éléments inversibles de E ?

     d) Montrer que l’inverse d’un élément de E est un élément de E.

6) a) Montrer que l’application  de E dans R² qui à  M_(x,y) associe (x,y) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

     b) Donner sa matrice A, E étant muni de la base B et R² de sa base canonique.

 

EXERCICE II :

On considère la matrice carrée d’ordre quatre à coefficients réels :
1) Calculer D=A.^tA (Indication : D est une matrice scalaire).

2) Calculer det D.
3) a) En déduire det A.

     b) Caractériser les matrices A inversibles