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EXERCICE I :

On considère les matrices :  

On admet que P est inversible
1) Calculer B=PA. Que peut-on en conclure en termes de ligne-équivalence ?
2)

     a) Continuer les opérations élémentaires de lignes sur B pour obtenir la l.r.e R de A

     b) Quel est le rang de A ?

3) Donner toutes les combinaisons linéaires entre les colonnes de A.

4) On a admis que P est inversible, Justifier qu’elle l’est.

 

EXERCICE II :

Rappelons que si A et B sont deux matrices carrées qui commutent alors la formule du binôme est vérifiée :  ou encore :
 (n,k)N*×N et A⁰= B⁰=I  matrice identité.

M₃(R) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3.
On considère les matrices :  

Pour tout triplet (a, b, c)R³ on considère la matrice  et on désigne par E l’ensemble de toutes les matrices M_(a,b,c) où (a, b, c)R³

1)  I,  B et C sont-elles des matrices de E ? Justifier votre réponse.

2)  B et C sont-elles inversibles ? Justifier votre réponse.
3) a) Calculer B, C, BC et CB

     b) Exprimer ces quatre matrices à l’aide de  I,  B et C

     c) Ces quatre matrices sont-elles des matrices de E ? Justifier votre réponse.

4) Montrer que les matrices I,  B, et C sont linéairement indépendantes. (αI+βB+γC=0  α=β=γ=0)

5) Montrer que toute matrice M_(a,b,c) de E s’écrit M_(a,b,c)=aI+bB+cC. Terminer la phrase «toute matrice M_(a,b,c) de E s’écrit comme ……..)

6) En utilisant l’écriture de la question (5), montrer que la somme de deux matrices de E  est une matrice de E. (E est stable par addition).

7) En utilisant l’écriture de la question (5), montrer que le produit de deux matrices de E  est une matrice de E. (E est stable par multiplication).

8) On considère la matrice  

     a) Calculer, A A³  et A⁴

     b) Exprimer Aⁿ en fonction de I, C et A en distinguant les cas n pair et n impair.

9) On considère la matrice  

     a) Exprimer D en fonction de I et A.

     b) Montrer que nN*  Dⁿ=I+α_nA+β_n A où  (Indication : formule du binôme)

     c) En déduire une écriture de Dⁿ comme combinaison linéaire de I,  B et C

     d) Montrer que  1+α_n+β_n=3ⁿ et que 1-α_n+β_n=(-1)ⁿ(Indication : formule du binôme)

     e) En déduire α_n et β_n en fonction de n.

10) Déduire de ce qui précède une écriture de Dⁿ comme combinaison linéaire de I,  B, C et n.