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XII. Base et dimension

 

Définition 1 : Soit S=(u₁, u₂,…, u_n) une famille de vecteurs d’un R-ev E. On dit que S est une  famille génératrice de E  (ou que les vecteurs u₁, u₂,…, u_n engendrent E ) si
E=[(u₁, u₂,…, u_n)] (c.a.d tout vecteur de E s’écrit comme combinaison linéaire  des u_i ).

 

Définition 2 : Soit E un R-ev et B=(u₁, u₂,..,u_n) une famille de vecteurs de E. On dit que B est une base de E si :

·     (1) B est une famille libre

·     (2) B est une famille génératrice de E

 

Proposition 1 : Pour qu’une famille B=(u₁, u₂,…, u_n) soit une base de E il faut et il suffit que tout vecteur de E s’écrive sous forme unique comme combinaison linéaire des u_i.
c.a.d  u=λ₁u₁ + λ₂u₂ +…+ λ_nu_n où les réels λ_i sont uniques. Ces réels  λ_i sont appelés coordonnées (ou composantes) de u selon la base B.

 

Lemme 1 : Soit E un R-ev et S = (u₁, u₂,…, u_r) une famille libre de r vecteurs de E et soit u un vecteur de E. Alors : si u[(u₁, u₂,…, u_r)] alors (u₁, u₂,…, u_r, u) est une famille libre de r+1 vecteurs de E.

 

Lemme 2 : Soit F le sous-espace vectoriel engendré par une famille (u₁, u₂,…, u_r) de r vecteurs de E. Si l’un des vecteurs u_j s’écrit comme combinaison linéaire des r - 1 autres vecteurs u_i alors F est aussi engendré par la famille  (u₁, u₂,…, u_j-1, u_j+1,…,u_r).

 

 

Définition 3 : Soit E un R-ev non réduit à {0}. On dit que E est de dimension finie s’il existe un entier n>0 et une base de E composée de n vecteurs. n est la dimension de E. On note dim(E)=n.

 

Remarque : Si E = {0} E n’admet pas de base on dira alors que E est de dimension finie et sa dimension est égale à 0. dim {0}=0.
Si E n’est pas de dimension finie on dit qu’il est de dimension infinie.

 

Définition 4 :
Soit E un R-ev de dimension finie n admettant une base B =(e₁, e₂,…, e_n) et soit u= u₁e₁ + u₂e₂ +…+ u_ne_n un vecteur de E. On dit que u admet comme représentant le vecteur  

 

 

 

Corollaire 1 : Soit E un R-ev de dimension finie n alors

·     (1) toute famille libre contient au plus n vecteurs

·     (2) toute famille génératrice contient au moins n vecteurs

 

 

 

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