Soit E un espace vectoriel de dimension fini n et soient u1,
u2, … , up p
vecteurs de E. On désigne par Aj le représentant de uj dans Rcn j=1,
2, …p. Soit A la matrice dont les p
colonnes sont A1 , A2,…, Ap
. Les n lignes A1 , A2,…, An de A
sont des éléments de Rlp.
Rappelons que rang(u1, u2, … , up)=dim [(u1, u2, … , up)]=
rang(A1 , A2,…, Ap)=
dim [(A1 , A2,…, Ap)].
On se propose de donner une méthode pratique pour trouver une base de [(u1, u2, … , up)]
et éventuellement de la compléter en une base de E.
Soit r le rang de A et R sa l.r.e ; notons j1,
j2, … , jr les indices des colonnes pivots et soit P une matrice inversible telle que R=PA
et Q=P-1.
Rappelons que les colonnes pivots Aj1
Aj2… Ajr
sont linéairement indépendantes et que les colonnes non pivots sont des
combinaisons linéaires des colonnes pivots et que les colonnes de A vérifient les mêmes relations
linéaires qui existent entre les colonnes de mêmes indices de R.
Proposition
1 : Avec les hypothèses et les
notations précédentes on a :
(Aj1 , Aj2,…, Ajr) est une base de [(A1 A2… Ap)].
Proposition
2 : Avec les hypothèses et les
notations précédentes on a :
dim[(A1 A2… Ap)]=
dim[(A1, A2,…, An)]
Remarque 1 : (Rappel) Malgré l’égalité de leurs dimensions ces
deux sous-espaces vectoriels [(A1
, A2,… , Ap)]
et [(A1 , A2,…, An)]
sont différents (en général).
[(A1 , A2,… , Ap)]
est appelé sous-espace vectoriel des colonnes (de A)
[(A1 , A2,…, An)]
est appelé sous-espace vectoriel des lignes (de A)
Construction
de bases : Le théorème 11 revisité de
point de vue pratique :
Avec les hypothèses et les notations précédentes on a :
Si p > n : la famille (A1,
A2, … , Ap) est liée
Si p < n : la famille (A1,
A2, … , Ap) n’est pas génératrice
Si r < p : la famille (A1,
A2, … , Ap) est liée
Si r=p=n : la famille (A1, A2, … , Ap)
est une base
On se pose deux problèmes de construction de
bases :
1- Soit (A1, A2, … , Ap) une famille libre de p vecteurs de Rcn avec p<n. Comment la compléter en une base de E ?
On peut compléter la famille (A1,
A2, … , Ap) en une base de Rcn par les n - p vecteurs
Bk = P-1ek
k = p+1, p+2, … ,n
où ek est le keme
vecteur de la base canonique de Rcn.
2- Soit (A1, A2, … , Ap) une famille génératrice
de p vecteurs de Rcn avec p>n. Comment en extraire une base de E ?
On peut prendre pour base la famille des n
vecteurs constituant les n