Définition 1 : Une matrice R de format n×p est dite ligne-réduite si elle vérifie les conditions suivantes :
· (a) toutes les lignes nulles (s’il y en a) sont en dessous des lignes non nulles.
· (b) dans chaque ligne non nulle, le premier élément (au sens croissant des indices des colonnes) non nul vaut 1. La colonne où apparaît ce « 1 » s’appelle colonne pivot de la ligne.
· (c) tous les autres éléments de la colonne pivot (sauf le « 1 ») sont nuls.
Si de plus, R vérifie la 4ème condition suivante :
·
(d) les colonnes pivots apparaissent en ordre croissant
(au sens des indices des colonnes).
On dit que R est une matrice
ligne-réduite échelonnée.
Théorème 3 : Toute matrice A est ligne-équivalente à une matrice ligne-réduite échelonnée R. Cette matrice ligne-réduite échelonnée R est unique. (On dira donc : R est la l.r.e de A)
Théorème 4 :
· Les lignes non nulles d’une matrice ligne-réduite échelonnée sont linéairement indépendantes
· Les colonnes pivots d’une matrice ligne-réduite échelonnée sont linéairement indépendantes
· Les colonnes non pivots d’une matrice ligne-réduite échelonnée s’écrivent comme combinaisons linéaires des colonnes pivots d’indices inférieurs.
Proposition 1 : Deux matrices ligne-équivalentes admettent la même l.r.e
Proposition 2 : Soit R la l.r.e de A , alors les colonnes de A vérifient les mêmes relations (combinaisons) linéaires que les colonnes de R.