Chapitre7

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VII. Arithmétique appliquée

VII-1. Généralités

Notion de nombre
Dénombrer
Compter
Calculer
Chiffres et nombres
Notion de base

VII-2. Systèmes de numération

Définition 1 : Un système de numération est un ensemble de symboles et de règles d’écriture pour représenter des nombres.

Les systèmes additifs : Une base b étant fixée, il existe une seule sorte de signes pour désigner chaque puissance de la base. Les nombres sont représentés par des « groupements additifs » de ces signes.

Les systèmes hybrides : Une base b étant fixée, il existe deux sortes de signes :
: Des signes pour désigner chaque puissance de la base.
: Des signes pour désigner chaque nombre inférieur à la base.
Les nombres sont représentés par des « groupements additifs » de multiples des puissances de la base.

Les systèmes de position : Une base b étant fixée, il existe une seule sorte de signes (chiffres) représentant les nombres inférieurs à la base. La « place » du chiffre dans l’écriture du nombre est appelée poids. Elle est essentielle, elle donne la puissance de la base. Le nombre écrit est la somme de toutes ces puissances pondérées de la base.

VII-3. Représentation des entiers dans un système de numération

Théorème 1 : Pour tout entier naturel b > 1, et pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel k et une suite finie (α_k, α_k_-1,…, α₂, α₁, α₀) d’entiers naturels telle que :
n=α_kb^k+α_k_-1b^k^-1+…+α₂b²+α₁b¹+α₀b⁰=α₀b⁰+α₁b¹+α₂b²+…+α_k_-1b^k^-1+α_kb^k
où α_k≠0 et i=0,1, … , k 0≤α_i<b
Cette décomposition est unique.
α₀ Est le poids le plus faible et α_k le poids le plus fort.
On écrit n=α_kα_k_-1…α₂α₁α₀

Remarque 1 : La décomposition précédente peut s’écrire sous la forme :
n=α₀+b(α₁+b(α₂+b(α₃+ … +b(α_k_-1+bα_k) …).
appelée schéma de Hörner (ou produits-sommes successifs).

VII-4. Changement de base

Passage de la base dix à une autre base b :
On procède à la recherche « des poids faibles d’abord » par des divisions successives par b.
On procède à la recherche « des poids forts d’abord » en disposant d’une table des puissances de b.

Passage d’une base b à la base dix :
Il suffit d’écrire la décomposition du nombre en base b avec les notations de la base dix et effectuer les calculs en base dix. On peut accélérer le calcul en utilisant le schéma de Hörner.

VII-5. Représentation des rationnels dans un système de numération

Développement décimal d’un rationnel positif :

Lemme 1 : Tout nombre rationnel x peut s’écrire sous la forme :
où 0≤r_q<1 et et i=0,1, … , p 0≤α_i<9

s’appelle développement décimal par défaut de x à l’ordre q. On écrit :
x_q=α_pα_p_-1…α₂α₁α₀,β₀β₁β₂…β_q

Remarque 2 : Deux cas peuvent se présenter :
: Il existe un ordre s pour lequel r_s=0 on a alors le développement décimal exact de x : .
: Il n’existe pas un ordre s pour lequel r_s=0 on peut alors encadrer la valeur de x par : x_q<x<x_q+10^-q

Remarque 3 : Dans le développement par défaut, il existe toujours un rang à partir duquel on observe une périodicité sur les β_j.

Développement en base b d’un rationnel positif :

Définition 2 : On appelle développement en base b par défaut à l’ordre q d’un nombre rationnel positif x la donnée d’une écriture α_pα_p_-1…α₂α₁α₀,β₀β₁β₂…β_q où i=0,1, … , p 0≤α_i<b
j=1, … , q 0≤β_j<b et telle que :

Remarque 4 : Toutes les propriétés énoncées pour les développements décimaux se transposent dans la théorie des développements en base b.

VII-6. Changement de base

Soit x un rationnel dont on connaît le développement décimal par défaut (ou exact)
x_q=α_pα_p_-1…α₂α₁α₀,β₀β₁β₂…β_q. On peut toujours écrire x_q=α_pα_p_-1..α₂α₁α₀β₀β₁β₂..β_q.10^-q
x_q se présente donc sous la forme d’un entier ordinaire que l’on traite comme précédemment pour obtenir son développement en base b.

Remarque 5 : Si x_q est le développement décimal par défaut de x, les chiffres significatifs du développement de x en base b ne sont exacts que jusqu’à un certain ordre N tel que b^N<10^q.