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Chapitre I

Fonctions (séries) génératrices

EL METHNI M.

 

 

 

I-1 Généralités:

 

Définition 1 : Pour nN, soit (an) une suite de nombres réels et (fn(x)) une suite de fonctions numériques réelles. On appelle fonction génératrice ou (série génératrice) de (associée à, représentant) la suite (an) la série formelle  Les fonctions fn(x) constituent le noyau de la fonction génératrice ou (série génératrice).

Remarque 1 : On n'étudiera que les cas où le noyau est de la forme :
Dans le premier cas on parlera de fonction génératrice ordinaire ou (série génératrice ordinaire) et dans le deuxième cas on parlera de fonction génératrice exponentielle ou (série génératrice exponentielle).

 

Définition 2 : Deux  fonction génératrices ou (série génératrices) ordinaires  ou exponentielles  sont égales si et seulement si an=bn   n≥0

 

Définition 3 : La somme de deux  fonctions (séries) génératrices ordinaires  ou exponentielles  est une fonction (série) génératrice ordinaire ou exponentielle  où cn=an+bn   n≥0

 

Définition 4 : Le produit d'une  fonction (série) génératrice ordinaire  ou exponentielle  par un réel λ est une fonction (série) génératrice ordinaire ou exponentielle  où cn=λan   n≥0

 

Définition 5 : Le produit (de convolution, de Cauchy) de deux  fonctions (séries) génératrices ordinaires  est une fonction (série) génératrice ordinaire  

 

 

 

 

 

Définition 6 : La dérivée (formelle) d'une  fonction (série) génératrice ordinaires  ou exponentielles  est
une fonction (série) génératrice ordinaire  où cn=(n+1)an+1   n≥0
ou exponentielle  où cn=an+1   n≥0

 

 

Théorème 1 : Soit  deux fonctions (séries) génératrices ordinaires représentant respectivement les suites (an) et (bn)  , alors les opérations formelles décrites dans le tableau II engendrent les fonctions (séries) génératrices ordinaires représentant les suites indiquées.

 

 

Théorème 2 : Soit  deux fonctions (séries) génératrices exponentielles représentant respectivement les suites (an) et (bn)  , alors les opérations formelles décrites dans le tableau IV engendrent les fonctions (séries) génératrices exponentielles représentant les suites indiquées.

 

I-2 Fonctions (séries) génératrices et relations de récurrence :

 

Technique de base :

Etant donnée une relation de récurrence décrivant une suite (an), on peut souvent aboutir à une solution  en procédant de la manière suivante :

·     Multiplier les deux membres de la relation de récurrence par xn , (xn/n!) et sommer sur n.

·     Evaluer les sommes pour en tirer une équation vérifiée par la sgo , (sge)

·     Résoudre cette équation pour obtenir une formule explicite de la fgo , (fge).

·     Développer la fgo (fge) en série entière pour obtenir les coefficients (les termes de la suite d’origine).

 

 

TABLEAU I

Fonctions (séries) génératrices ordinaires usuelles

 

 

                                                                 

                                                                          

                                                            

                                           

                                 

                                                  

                                                        

                                                  

                                                   

                                                       

                                  

                    

 

 

 

TABLEAU III

Fonctions (séries) génératrices exponentielles usuelles

 

 

                                                                 

                                                                          

                                                            

                                

                                                        

                                                  

                                                 

                                                      

 

 

TABLEAU II

Opérations élémentaires sur les fonctions (séries) génératrices ordinaires

 

 

 

Décalage vers la droite :                                                  

Décalage vers la gauche :                                         

Multiplication d’indice (différentiation) :                       

Division d’indice (intégration) :                                           

Mise à l’échelle :                                              

Addition :                                          

Différence :                             

Convolution :                               

Somme partielle :                                      

 

 

TABLEAU IV

Opérations élémentaires sur les fonctions (séries) génératrices exponentielles

 

 

 

Décalage vers la droite (intégration):                                 

Décalage vers la gauche (dérivation):                                       

Multiplication d’indice :                                                             

Division d’indice :                                                            

Addition :                          

Différence :                                  

Convolution binomiale:                                                                                                                                                                                                   

Somme binomiale :