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            VI-1. A et B sont deux facteurs à effets fixes

VI-1-1 Généralités

On considère le plan quasi-complet S<A>×B où les sujets sont répartis dans des groupes définis par les r modalités du facteur A. Chaque sujet est observé dans les différentes occasions définies par les c modalités du facteur B. Il y a n sujets par groupe. On a donc échantillonné n×r sujets et on dispose donc de N=n×r×c observations y_s(i)j que l’on présente sous la forme d’un tableau :

 

 

VI-1-2 Modèle univarié :

Les données peuvent être d’une part, considérées comme les N = n×r×c observations d’une seule  variable aléatoire Y dans les N = n×r×c conditions expérimentales décrites par le croisement des trois facteurs S emboîté dans A et B. Elles peuvent d’autre part, être regardées comme les  n×r observations d’un vecteur de c variables aléatoires. Ces deux points de vue conduisent à l’élaboration de deux modèles, le modèle mixte univarié dans le premier cas, et le modèle multivarié dans le second.

Comme pour les plans S×O et S×A×B nous allons étudier le modèle mixte univarié dans lequel nous considérons que les modalités du facteur sujet ont été obtenues par échantillonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatoire. Les facteurs A et B sont des facteurs à effets fixes. Chaque donnée y_s(i)j correspond alors à l’observation d’une variable aléatoire Y_s(i)j et on pose le modèle mixte suivant :

Y_s(i)j = μ_ij + π_s(i) + (πβ)_sj + e_s(i)j

Pour chaque croisement des modalités s et j nous ne disposons que d’une seule observation, l’interaction (πβ)_sj sera confondue avec le résidu et on pose : ε_s(i)j=(πβ)_sj + e_s(i)j

On a donc : Y_s(i)j = μ_ij + π_s(i) + ε_s(i)j

Où

Les µ_ij (i =1, 2, …, r, j=1, 2, …, c) sont des constantes qui mesurent les effets fixes des modalités (i,j) du croisement A×B

Les π_s(i) (s = 1, 2, …, n, i =1, 2, …, r) sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi N(0 ;σ²_π) qui mesurent les effets aléatoires des modalités s du facteur S

Les résidus ε_s(i)j sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi N(0 ;σ²)

De plus, on suppose que les résidus ε_s(i)j sont indépendantes des π_s(i).

Nous pouvons réécrire l’effet fixe de la modalité (i,j) sous la forme suivante :

µ_ij = µ + α_i + β_j + (αβ)_ij

Où :

Le paramètre µ s’interprète comme un niveau général de réponse commun pour l’ensemble des observations,

Le paramètre α_i = µ_i - µ s’interprète comme l’effet de la modalité i du facteur A

Le paramètre β_j = µ_j - µ s’interprète comme l’effet de la modalité j du facteur B

Le paramètre (αβ)_ij = µ_ij - µ_i - µ_j + µ s’interprète comme l’effet d’interaction des modalités i et j.

Le modèle mixte univarié peut finalement s’écrire :

Y_s(i)j = µ + α_i + β_j + (αβ)_ij + π_s(i) + ε_s(i)j

Où : les Y_s(i)j sont des variables aléatoires de loi :  

Une telle paramétrisation nécessite de rajouter les contraintes d’identifiabilité suivantes :

 

 

VI-1-3 Décomposition de la variation :

On note :  la moyenne des c observations de la modalité s(i) de l’emboîtement S<A>

 la moyenne des nc observations de la modalité i de A

 la moyenne des nr observations de la modalité j de B

 la moyenne des n observations de la modalité (i,j) du croisement A×B et  la moyenne générale

 

On commence par décomposer la variation totale en variation inter-sujets et variation intra-sujets : SCT_obs = SC_inter-sujets + SC_intra-sujets

 

 

On décompose la variation inter-sujets en variation inter A et variation intra A. On obtient :

SC_inter-sujets = SCS_obs = SC_{inter A}+ SC_{intra A}  où :

 

 

La variation intra-sujets est due aux effets du facteur B  et à l’effet des autres facteurs non contrôlés. L’effet du facteur B se fait à deux niveaux : effet principal et effet d’interaction avec A. On a :

SC_intra-sujets = SCB_obs + SC(AB)_obs + SCR_obs

Avec : SC(AB)_obs = SC(A×B)_obs - SC(A)_obs - SC(B)_obs

Conclusion : Dans le cas du plan complet S<A>×B, la variation totale se décompose de façon additive en :

 

De même on a la décomposition des degrés de liberté :

Les différentes sommes de carrées se calculent de façon habituelles par :

 =N×variance de toutes les observations

 =N×variance des r moyennes par modalités de A

 =N×variance des r×n moyennes des sujets

SCS(A)_obs = SCS_obs - SCA_obs

 =N×variance des c moyennes par modalités de B

 =N×variance des r×c moyennes par croisement de A et B

SC(AB)_obs = SC(A×B)_obs - SCA_obs - SCB_obs

SCR_obs = SCT_obs - SCA_obs - SCB_obs - SC(AB)_obs - SCS(A)_obs

 

Dans le cadre du modèle statistique ces sommes de carrés sont des réalisations de variables aléatoires dont on calcule les espérances et plus généralement les distributions des probabilités.

On montre le théorème fondamental suivant :

 

 

On ramène toutes les sommes de carrés à des moyennes de carrés en divisant par les degrés de liberté correspondants.

 

 

Ceci nous permet de réécrire le théorème précédent sous la forme suivante :

 

 

Ceci nous permet de tester l’existence des différents effets des facteurs. On peut construire des tests indépendants sur chacune des sources de variations :

 

Test 1 :

hypothèse nulle                         H_0A : pas d’effet principal du facteur A (i) α_i = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1A : il existe un effet principal du facteur A (i) α_i ≠ 0

 

 

Le test1 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{A obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_A ≥ λ_α).

 

Test 2 :

hypothèse nulle                         H_0B : pas d’effet principal du facteur B (j) β_j = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1B : il existe un effet principal du facteur B (j) β_j ≠ 0

 

 

Le test2 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{B obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_B ≥ λ_α).

 

Test 3 :

hypothèse nulle                         H_0AB : pas d’effet d’interaction (i,j) (αβ)_ij = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1AB : il existe une interaction (i,j) (αβ)_ij ≠ 0

 

 

Le test3 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{AB obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_AB ≥ λ_α).

On présente l’étude dans le tableau d’analyse de la variance :

 

Source	SCobs	ddl	MCobs	Fobs
Intra-S :
A	SCAobs	r - 1	MCAobs	FA obs
S(A)	SCS(A)obs	r(n - 1)	MCS(A)obs
Inter-S :
B	SCBobs	c - 1	MCBobs	FB obs
AB	SC(AB)obs	(r - 1)(c - 1)	MC(AB)obs	FAB obs
R	SCRobs	r(c - 1)(n - 1)	MCRobs
Total	SCTobs	N - 1

 

VI-1-5 Condition de validation :

Le fait de mesurer plusieurs fois la variable réponse sur le même sujet introduit des corrélations entre les observations faites sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mixte univarié on montre que :                                 

Dans le cas du modèle multivarié on considère que les données sont les réalisations de n vecteurs aléatoires de dimension rc. Y_s=(Y_s(i)1, Y_s(i)2, …, Y_s(i)c) indépendants et de même loi normale caractérisés par : E(Y_s(i)j)=μ_ij                     Var(Y_s(i)j)=σ²_ij                       cov(Y_s(i)j , Y_s(i)j’) = cov_(i)jj’

Le modèle mixte univarié est donc un cas particulier du modèle multivarié correspondant aux hypothèses de circularité et d’homogénéité des matrices des variances-covariances Σ_ι  (i =1, 2, …, r) de la forme :

 

De même on peut considérer la matrice des corrélations ρ :

 

 

V-1-6 Exemple :

		G 1			G 2
Sujet	L 1	L 2	L 3	L 1	L 2	L 3
1	10	11	9	3	6	3
2	18	20	17	16	20	14
3	6	8	8	5	6	3
4	4	9	9	10	10	6

Dans une expérience les sujets doivent estimer la longueur d’une barre métallique. Les barres présentées ont trois longueurs différentes. On forme deux groupes de 4 sujets distincts, dans chaque groupe on présente à chaque sujet trois barres de longueurs différentes …

 

Pratique des calculs :

 

		G 1				G 2
Sujet	L 1	L 2	L 3		L 1	L 2	L 3
1	10	11	9		3	6	3
2	18	20	17		16	20	14
3	6	8	8		5	6	3
4	4	9	9		10	10	6

 

Pratique des calculs : autre méthode

 

A     B	L1	L2	L3	moyennes		A    S	1	2	3	4
G1	9,50	12,00	10,75	10,75		G1	10,00	18,33	7,33	7,33
G2	8,50	10,50	6,50	8,50		G2	4,00	16,67	4,67	8,67
moyennes	9,00	11,25	8,625	9,625

 

SCT=645,625             SCS=579,853             SCA=30,375              SCB=32,25

SC(A×B)=74,875     SC(AB)=12,25           SCS(A)=549,478       SCR=21,272

 

                                               Tableau d’analyse de la variance :

 

Source	SCobs	ddl	MCobs	Fobs
Intra-S :
A	SCAobs=30,375	r - 1=1	MCAobs=30,375	FA obs=0,331
S(A)	SCS(A)obs=549,478	r(n - 1)=6	MC(AS)obs=91,579
Inter-S :
B	SCBobs=32,25	c - 1=2	MCBobs=16,125	FB obs=9,099
AB	SC(AB)obs=12,25	(r - 1)(c - 1)=2	MC(AB)obs=6,125	FAB obs=3,4565
R	SCRobs=21,272	r(c - 1)(n - 1)=12	MCRobs=1,772
Total	SCTobs=645,625	N - 1=23

 

 

 

 

Test de l’existence des différents effets :

 

Test 1 : Effet principal du facteur A

hypothèse nulle                         H_0A : pas d’effet principal du facteur A (i) α_i = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1A : il existe un effet principal du facteur A (i) α_i ≠ 0

 

 

Le test1 est alors défini au seuil de signification α=5% par la règle de décision suivante :

            si F_{A obs} ≥ λ_α=10,1  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_A ≥ λ_α).

Or  F_{A obs} =0,331<1 Dans ce cas particulier on considère 1/ F_{A obs} = 1/0,331=3,015 et la comparaison se fait par rapport à la valeur lue dans la table de Fisher en inversant les degrés de liberté. 3,015 < λ’_α=234  on en conclue qu’il n’y a pas d’effet principal du facteur A

 

Test 2 : Effet principal du facteur B

hypothèse nulle                         H_0B : pas d’effet principal du facteur B (j) β_j = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1B : il existe un effet principal du facteur B (j) β_j ≠ 0

 

 

Le test2 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{B obs} ≥ λ_α =3,89 alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_B ≥ λ_α).

Or  F_{B obs} =9,099 > λ_α=3,89 on en conclue qu’il y a  un effet principal du facteur B

 

Test 3 : Test de l’effet d’interaction des facteurs A et B

hypothèse nulle                         H_0AB : pas d’effet d’interaction (i,j) (αβ)_ij = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1AB : il existe une interaction (i,j) (αβ)_ij ≠ 0

 

 

Le test3 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{AB obs} ≥ λ_α =3,89 alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_AB ≥ λ_α).

Or  F_{AB obs} =3,4565 < λ_α=3,89  on en conclue qu’il n’y a pas d’effet d’interaction des facteurs A et B

 

 

 

 

 

 

 

Condition de validation du modèle :

Calculons la matrice de variances covariances empirique (et aussi la matrice des corrélations) pour examiner la condition de validité du modèle mixte univarié.

 

Matrice des variances-covariances

Groupe 1 (A=G₁)                                            Groupe 2 (A=G₂)

                        

 

On considère la matrice des variances-covariances « moyenne »

 

et la matrice des corrélations associée :

 

 

 

VI-1. A et B sont deux facteurs à effets fixes

VI-1-1 Généralités

On considère le plan quasi-complet S<A>×B où les sujets sont répartis dans des groupes définis par les r modalités du facteur A. Chaque sujet est observé dans les différentes occasions définies par les c modalités du facteur B. Il y a n sujets par groupe. On a donc échantillonné n×r sujets et on dispose donc de N=n×r×c observations y_s(i)j que l’on présente sous la forme d’un tableau :

 

 

VI-1-2 Modèle univarié :

Les données peuvent être d’une part, considérées comme les N = n×r×c observations d’une seule  variable aléatoire Y dans les N = n×r×c conditions expérimentales décrites par le croisement des trois facteurs S emboîté dans A et B. Elles peuvent d’autre part, être regardées comme les  n×r observations d’un vecteur de c variables aléatoires. Ces deux points de vue conduisent à l’élaboration de deux modèles, le modèle mixte univarié dans le premier cas, et le modèle multivarié dans le second.

Comme pour les plans S×O et S×A×B nous allons étudier le modèle mixte univarié dans lequel nous considérons que les modalités du facteur sujet ont été obtenues par échantillonnage, le facteur sujet est donc un facteur aléatoire. Les facteurs A et B sont des facteurs à effets fixes. Chaque donnée y_s(i)j correspond alors à l’observation d’une variable aléatoire Y_s(i)j et on pose le modèle mixte suivant :

Y_s(i)j = μ_ij + π_s(i) + (πβ)_sj + e_s(i)j

Pour chaque croisement des modalités s et j nous ne disposons que d’une seule observation, l’interaction (πβ)_sj sera confondue avec le résidu et on pose : ε_s(i)j=(πβ)_sj + e_s(i)j

On a donc : Y_s(i)j = μ_ij + π_s(i) + ε_s(i)j

Où

Les µ_ij (i =1, 2, …, r, j=1, 2, …, c) sont des constantes qui mesurent les effets fixes des modalités (i,j) du croisement A×B

Les π_s(i) (s = 1, 2, …, n, i =1, 2, …, r) sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi N(0 ;σ²_π) qui mesurent les effets aléatoires des modalités s du facteur S

Les résidus ε_s(i)j sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) de loi N(0 ;σ²)

De plus, on suppose que les résidus ε_s(i)j sont indépendantes des π_s(i).

Nous pouvons réécrire l’effet fixe de la modalité (i,j) sous la forme suivante :

µ_ij = µ + α_i + β_j + (αβ)_ij

Où :

Le paramètre µ s’interprète comme un niveau général de réponse commun pour l’ensemble des observations,

Le paramètre α_i = µ_i - µ s’interprète comme l’effet de la modalité i du facteur A

Le paramètre β_j = µ_j - µ s’interprète comme l’effet de la modalité j du facteur B

Le paramètre (αβ)_ij = µ_ij - µ_i - µ_j + µ s’interprète comme l’effet d’interaction des modalités i et j.

Le modèle mixte univarié peut finalement s’écrire :

Y_s(i)j = µ + α_i + β_j + (αβ)_ij + π_s(i) + ε_s(i)j

Où : les Y_s(i)j sont des variables aléatoires de loi :  

Une telle paramétrisation nécessite de rajouter les contraintes d’identifiabilité suivantes :

 

 

VI-1-3 Décomposition de la variation :

On note :  la moyenne des c observations de la modalité s(i) de l’emboîtement S<A>

 la moyenne des nc observations de la modalité i de A

 la moyenne des nr observations de la modalité j de B

 la moyenne des n observations de la modalité (i,j) du croisement A×B et  la moyenne générale

 

On commence par décomposer la variation totale en variation inter-sujets et variation intra-sujets : SCT_obs = SC_inter-sujets + SC_intra-sujets

 

 

On décompose la variation inter-sujets en variation inter A et variation intra A. On obtient :

SC_inter-sujets = SCS_obs = SC_{inter A}+ SC_{intra A}  où :

 

 

La variation intra-sujets est due aux effets du facteur B  et à l’effet des autres facteurs non contrôlés. L’effet du facteur B se fait à deux niveaux : effet principal et effet d’interaction avec A. On a :

SC_intra-sujets = SCB_obs + SC(AB)_obs + SCR_obs

Avec : SC(AB)_obs = SC(A×B)_obs - SC(A)_obs - SC(B)_obs

Conclusion : Dans le cas du plan complet S<A>×B, la variation totale se décompose de façon additive en :

 

De même on a la décomposition des degrés de liberté :

Les différentes sommes de carrées se calculent de façon habituelles par :

 =N×variance de toutes les observations

 =N×variance des r moyennes par modalités de A

 =N×variance des r×n moyennes des sujets

SCS(A)_obs = SCS_obs - SCA_obs

 =N×variance des c moyennes par modalités de B

 =N×variance des r×c moyennes par croisement de A et B

SC(AB)_obs = SC(A×B)_obs - SCA_obs - SCB_obs

SCR_obs = SCT_obs - SCA_obs - SCB_obs - SC(AB)_obs - SCS(A)_obs

 

Dans le cadre du modèle statistique ces sommes de carrés sont des réalisations de variables aléatoires dont on calcule les espérances et plus généralement les distributions des probabilités.

On montre le théorème fondamental suivant :

 

 

On ramène toutes les sommes de carrés à des moyennes de carrés en divisant par les degrés de liberté correspondants.

 

 

Ceci nous permet de réécrire le théorème précédent sous la forme suivante :

 

 

Ceci nous permet de tester l’existence des différents effets des facteurs. On peut construire des tests indépendants sur chacune des sources de variations :

 

Test 1 :

hypothèse nulle                         H_0A : pas d’effet principal du facteur A (i) α_i = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1A : il existe un effet principal du facteur A (i) α_i ≠ 0

 

 

Le test1 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{A obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_A ≥ λ_α).

 

Test 2 :

hypothèse nulle                         H_0B : pas d’effet principal du facteur B (j) β_j = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1B : il existe un effet principal du facteur B (j) β_j ≠ 0

 

 

Le test2 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{B obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_B ≥ λ_α).

 

Test 3 :

hypothèse nulle                         H_0AB : pas d’effet d’interaction (i,j) (αβ)_ij = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1AB : il existe une interaction (i,j) (αβ)_ij ≠ 0

 

 

Le test3 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{AB obs} ≥ λ_α  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_AB ≥ λ_α).

On présente l’étude dans le tableau d’analyse de la variance :

 

Source	SCobs	ddl	MCobs	Fobs
Intra-S :
A	SCAobs	r - 1	MCAobs	FA obs
S(A)	SCS(A)obs	r(n - 1)	MCS(A)obs
Inter-S :
B	SCBobs	c - 1	MCBobs	FB obs
AB	SC(AB)obs	(r - 1)(c - 1)	MC(AB)obs	FAB obs
R	SCRobs	r(c - 1)(n - 1)	MCRobs
Total	SCTobs	N - 1

 

VI-1-5 Condition de validation :

Le fait de mesurer plusieurs fois la variable réponse sur le même sujet introduit des corrélations entre les observations faites sur ce même sujet. Dans le cas du modèle mixte univarié on montre que :                                 

Dans le cas du modèle multivarié on considère que les données sont les réalisations de n vecteurs aléatoires de dimension rc. Y_s=(Y_s(i)1, Y_s(i)2, …, Y_s(i)c) indépendants et de même loi normale caractérisés par : E(Y_s(i)j)=μ_ij                     Var(Y_s(i)j)=σ²_ij                       cov(Y_s(i)j , Y_s(i)j’) = cov_(i)jj’

Le modèle mixte univarié est donc un cas particulier du modèle multivarié correspondant aux hypothèses de circularité et d’homogénéité des matrices des variances-covariances Σ_ι  (i =1, 2, …, r) de la forme :

 

De même on peut considérer la matrice des corrélations ρ :

 

 

V-1-6 Exemple :

		G 1			G 2
Sujet	L 1	L 2	L 3	L 1	L 2	L 3
1	10	11	9	3	6	3
2	18	20	17	16	20	14
3	6	8	8	5	6	3
4	4	9	9	10	10	6

Dans une expérience les sujets doivent estimer la longueur d’une barre métallique. Les barres présentées ont trois longueurs différentes. On forme deux groupes de 4 sujets distincts, dans chaque groupe on présente à chaque sujet trois barres de longueurs différentes …

 

Pratique des calculs :

 

		G 1				G 2
Sujet	L 1	L 2	L 3		L 1	L 2	L 3
1	10	11	9		3	6	3
2	18	20	17		16	20	14
3	6	8	8		5	6	3
4	4	9	9		10	10	6

 

Pratique des calculs : autre méthode

 

A     B	L1	L2	L3	moyennes		A    S	1	2	3	4
G1	9,50	12,00	10,75	10,75		G1	10,00	18,33	7,33	7,33
G2	8,50	10,50	6,50	8,50		G2	4,00	16,67	4,67	8,67
moyennes	9,00	11,25	8,625	9,625

 

SCT=645,625             SCS=579,853             SCA=30,375              SCB=32,25

SC(A×B)=74,875     SC(AB)=12,25           SCS(A)=549,478       SCR=21,272

 

                                               Tableau d’analyse de la variance :

 

Source	SCobs	ddl	MCobs	Fobs
Intra-S :
A	SCAobs=30,375	r - 1=1	MCAobs=30,375	FA obs=0,331
S(A)	SCS(A)obs=549,478	r(n - 1)=6	MC(AS)obs=91,579
Inter-S :
B	SCBobs=32,25	c - 1=2	MCBobs=16,125	FB obs=9,099
AB	SC(AB)obs=12,25	(r - 1)(c - 1)=2	MC(AB)obs=6,125	FAB obs=3,4565
R	SCRobs=21,272	r(c - 1)(n - 1)=12	MCRobs=1,772
Total	SCTobs=645,625	N - 1=23

 

 

 

 

Test de l’existence des différents effets :

 

Test 1 : Effet principal du facteur A

hypothèse nulle                         H_0A : pas d’effet principal du facteur A (i) α_i = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1A : il existe un effet principal du facteur A (i) α_i ≠ 0

 

 

Le test1 est alors défini au seuil de signification α=5% par la règle de décision suivante :

            si F_{A obs} ≥ λ_α=10,1  alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_A ≥ λ_α).

Or  F_{A obs} =0,331<1 Dans ce cas particulier on considère 1/ F_{A obs} = 1/0,331=3,015 et la comparaison se fait par rapport à la valeur lue dans la table de Fisher en inversant les degrés de liberté. 3,015 < λ’_α=234  on en conclue qu’il n’y a pas d’effet principal du facteur A

 

Test 2 : Effet principal du facteur B

hypothèse nulle                         H_0B : pas d’effet principal du facteur B (j) β_j = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1B : il existe un effet principal du facteur B (j) β_j ≠ 0

 

 

Le test2 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{B obs} ≥ λ_α =3,89 alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_B ≥ λ_α).

Or  F_{B obs} =9,099 > λ_α=3,89 on en conclue qu’il y a  un effet principal du facteur B

 

Test 3 : Test de l’effet d’interaction des facteurs A et B

hypothèse nulle                         H_0AB : pas d’effet d’interaction (i,j) (αβ)_ij = 0 contre

l’hypothèse alternative :           H_1AB : il existe une interaction (i,j) (αβ)_ij ≠ 0

 

 

Le test3 est alors défini au seuil de signification α par la règle de décision suivante :

            si F_{AB obs} ≥ λ_α =3,89 alors on rejette l’hypothèse nulle

où λ_α  est donné par l’équation :  α = P(F_AB ≥ λ_α).

Or  F_{AB obs} =3,4565 < λ_α=3,89  on en conclue qu’il n’y a pas d’effet d’interaction des facteurs A et B

 

 

 

 

 

 

 

Condition de validation du modèle :

Calculons la matrice de variances covariances empirique (et aussi la matrice des corrélations) pour examiner la condition de validité du modèle mixte univarié.

 

Matrice des variances-covariances

Groupe 1 (A=G₁)                                            Groupe 2 (A=G₂)

                        

 

On considère la matrice des variances-covariances « moyenne »

 

et la matrice des corrélations associée :

 

 

La validité du modèle mixte univarié est considérée comme acquise.