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III. Circuits logiques et circuits de commutation

 

Définition 1 : Les portes logiques sont des « machines conceptuelles » comportant un ou plusieurs éléments d’entrée et un seul élément de sortie. Chaque élément d’entrée ou de sortie est une variable booléenne binaire (0 ou 1). On dispose de trois portes logiques de base réalisant les opérations d’une algèbre de boole : l’addition, la multiplication et la complémentation. A chacune de ces portes logiques on associe un circuit de commutation de base inspiré des circuits électriques mais dont les commutateurs représentent des variables booléennes. Ces commutateurs ne sont pas indépendants. Lorsqu’une variable x vaut 1 et seulement dans ce cas tout commutateur noté x est fermé et tout commutateur noté x’ est ouvert. Chaque circuit de commutation ne comporte qu’une seule entrée e et une seule sortie s On les représente par les schémas suivants :

                                                                                   x            y

               x                              xy    

                 y

                                                                                          x

               x                              x+y 

               y

                                                                                          y

                x                      x’

 

 

Remarque 1 : Les portes logiques réalisant l’addition et la multiplication booléennes se généralisent facilement à des portes logiques à plusieurs entrées tout en conservant une sortie unique. Les circuits de commutation correspondants se généralisent de la même manière en considérant plus de commutateurs en série ou en parallèle.

Définition 2 : Les circuits logiques sont constitués à partir d’associations de portes logiques et les circuits de commutation sont constitués à partir d’associations de circuit de commutation de base.

 

 

Définition 3 : On appelle mots binaires de longueur n une séquence a₁ a₂ … a_n de n éléments a_i de B={0,1}. On appelle B_n l’ensemble des mots binaires de longueur n.

 

Proposition 1 : B_n , muni des opérations suivantes, est une algèbre de Boole.
a=a₁ a₂ … a_nB_n    b=b₁ b₂ … b_nB_n
Addition : a+b=c=c₁ c₂ … c_n   où  i=1,…,n   c_i=a_i+b_i   (addition dans B)
Multiplication : a_*b=c=c₁ c₂ … c_n   où  i=1,…,n   c_i=a_ib_i   (multiplication dans B)
Complémentaire : a’=a’₁ a’₂ … a’_n