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II. Algèbre de Boole

II-1. Généralités

Définition 1 : Une algèbre de Boole est la donnée d’un sextuplet (B, +,_*, ’,0,1) où :
 B est un ensemble contenant au moins deux éléments
 0 et 1 sont deux éléments distincts de B
 + et _* sont deux lois de composition internes dans B (opérations binaires). On les désigne par : addition et multiplication booléennes.
 ’ est une opération unaire interne dans B. On l’appelle complémentaire.

Et tel que les  axiomes suivants soient vérifiés :
(A₁) : (a,b)B²  a+b=b+a                  (A_1’) : (a,b)B²  a_*b=b_*a    Commutativité
(A₂) : (a,b,c)B³ a_*(b+c)=a_*b+a_*c   (A_2’) : (a,b,c)B³ a+(b_*c)=(a+b)_*(a+c)  Distributivité
(A₃) : aB   a+0=a                            (A_3’) : aB   a_*1=a  Identité
(A₄) : aB   a+a’=1                           (A_4’) : aB   a_*a’=0 Complémentarité

 

Remarque 1 :
La liste de ces axiomes est redondante. Les axiomes (A₅) et (A_5’) sont dérivables des précédents et sont donc des théorèmes. Cette liste a été choisie par souci de clarté.

 

Notations et terminologies :
 Le signe de la multiplication _* sera souvent omis : on écrit ab au lieu de a_*b.
 On parlera de l’algèbre de Boole B au lieu de (B, +,_*, ’,0,1)
 On adopte la convention de parenthésage qui donne priorité à la multiplication sur l’addition et au complémentaire sur la multiplication.
 0 sera appelé élément nul, 1 sera appelé élément unité et a’ sera appelé complément  de a.
 Le résultat d’une addition sera appelé somme et le résultat d’une multiplication sera appelé produit.

Proposition 1 : (unicité du complément)
Si a+x=1 et ax=0 alors x=a’.

 

Corollaire 1 : aB   (a’)’=a           On notera a’’

 

Proposition 2 : (Idempotence)
aB   aa=a  et  a+a=a

 

Définition 2 : On appelle dual d’un énoncé quelconque d’une algèbre de Boole, l’énoncé obtenu à partir du premier par inversion :
          Des opérations + et _*
          Des éléments 0 et 1.