Précédent / Suivant / Table des matières

I. Eléments de topologie de Rn

 

Définition 1 : Une distance d sur un ensemble E est une application de E×E dans R+ qui à tout couple (x,y) de E×E associe un nombre réel noté d(x,y) vérifiant les conditions (axiomes) suivantes :
pour tous x, y et z de E et tout réel λ

 d(x,y)=0  x=y                        séparation

 d(x,y)=d(y,x)                symétrie

 d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)  inégalité triangulaire

 

On appelle espace métrique l’ensemble E muni de la distance d. On note (E,d).

 

Définition 2 : Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle norme sur E une application de E dans R+ qui à tout vecteur x de E associe un nombre réel noté ||x|| et vérifiant les axiomes suivants :
pour tous x et y de E et tout réel λ

 ||x||=0  x=0

 ||λx||=|λ|.||x||

 ||x+y||≤||x||+||y||

 

L’espace vectoriel E, muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé.

 

Normes usuelles sur Rn  : Soit x=(x1, x2, …, xn) de Rn

 ||x||∞=Max(|xi|)                         norme-sup (dite aussi norme infinie)

 ||x||1=|x1|+|x2|+...+|xn|                   norme-un

 ||x||2=(x12+x22+...+xn2)             norme-deux  (norme euclidienne)

 

Lemme 1 : Les trois normes usuelles sur Rn sont équivalentes au sens suivant : Il existe des constantes réelles C1, C2 et C3, dépendant uniquement de n telles que pour tout x de Rn on a : ||x||1≤C1||x||2≤C2||x||∞≤C3||x||1

 

Remarque 1 : Chacune des ces trois normes définit une distance d (métrique) sur Rn par d(x,y)= ||x-y||

 

Définition 3 : On appelle boule ouverte de centre x et de rayon r (xRn, rR+*) relativement à une norme donnée (notée || ||), l’ensemble des points de yRn tels que ||x-y||<r. On note B(x,r)

 

Définition 4 : On appelle voisinage d’un point x de Rn toute partie de Rn qui contient une boule ouverte contenant x. (la norme utilisée n’a pas d’importance).

 

Définition 5 : Une partie O de Rn est un ouvert de Rn si pour tout x de Rn il existe une boule ouverte, contenant x, incluse dans la partie O.

 

Définition 6 : Soient a et b deux points de Rn, on appelle segment de Rn d’extrémités a et b l’ensemble
[a , b]={xRn tq x=(1-λ)a+λb  où λ[0 , 1]}

 

Définition 7 : Une partie E de Rn est dite convexe si pour tout couple de points a et b de E, le segment
[a , b] appartient à E.