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II. Fonctions vectorielles

 

 

Définition 1 : On appelle fonction vectorielle une application d’une partie D de R dans Rⁿ.
tDR   →    f(t)=(x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t))Rⁿ. D s’appelle ensemble de définition de f.
Les x_i(t) sont des fonctions numériques réelles définies sur D et appelées fonctions coordonnées de f.

 

Définition 2 : Soit f une fonction vectorielle définie sur une partie D de R dans Rⁿ , soit t₀ un point ou une borne de D et l=(l₁, l₂, ..., l_n)Rⁿ .  On dit que f(t) tend vers l quand t tend vers t₀ si  

Remarque 1 : La définition précédente est équivalente à :  

 

Proposition 1 : On a les mêmes règles opératoires que pour les limites des fonctions numériques réelles.

 

Définition 3 : Soit f une fonction vectorielle définie sur une partie D de R dans Rⁿ , soit t₀ un point ou une borne de D.  On dit que f(t) est continue en t₀ si . Si f est continue en tout point de D on dit que f est continue sur D.

 

Remarque 2 : La définition précédente est équivalente à : i=1 …n    x_i(t) est continue en t₀ .

 

Proposition 2 : On a les mêmes règles opératoires que pour les fonctions numériques réelles continues.

 

Définition 4 : Soit f une fonction vectorielle définie sur une partie D de R dans Rⁿ , soit t₀ un point de D.  On dit que f(t) est dérivable en t₀ si . Si f est dérivable en tout point de D on dit que f est dérivable sur D. On note f’(t₀) la dérivée en t₀.

 

Remarque 3 : La définition précédente est équivalente à : i=1 …n    x_i(t) est dérivable en t₀ .

 

Proposition 3 : On a les mêmes règles opératoires que pour les fonctions numériques réelles dérivables.