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III. Fonctions de plusieurs variables réelles

III-1. Limite et continuité

 

Définition 1 : On appelle fonction numérique réelle de n variables réelles une application d’une partie D de Rn dans R.       x=(x1, x2, ..., xn)DRn   →   f(x)R.
D s’appelle ensemble de définition de f.

 

Définition 2 :

·     L’application pi de Rn dans R qui à x=(x1, x2, ..., xn)Rn  associe pi(x)=xiR est appelée la ième projection de Rn sur R. (ou encore ième application coordonnée)

·     Une application f de Rn dans R est définie au voisinage d’un point x0 de Rn si son ensemble de définition contient un voisinage de x0.

·     A partir d’une fonction de n variables on peut, en donnant des valeurs fixes à p variables (parmi les n), définir des fonctions à n-p variables.
En particulier si p=n-1 les fonctions à une variable ainsi définies sont appelées fonctions partielles et notées fa,i.
(xiR  →  fa,i(xi)=f(a1, a2, , ..., ai-1, xi, ai+1, .., an)R; a=(a1, a2, ..., an)Rn )

 

Définition 3 : cas particulier des fonctions de deux variables (n=2) : (x,y)DR2   →   f(x,y)
Lorsque le point M(x,y) décrit D le point P(x,y,f(x,y)) décrit une surface (S) de R3 appelée surface représentative de f.  z=f(x,y) est son équation cartésienne.
On peut visualiser cette surface par des sections :

·     Les sections par des plans parallèles au plan xOy d’équation z=C (constante) donnent des courbes tracées sur la surface d’équations f(x,y)=C appelées courbes de niveau.

·     Les sections par des plans parallèles aux plans yOz (x=x0) et xOz (y=y0)   donnent des courbes tracées sur la surface appelées courbes coordonnées. Ce sont les courbes représentatives des fonctions partielles z=f(x0,y) est z=f(x, y0).

 

Définition 4 : Soit f une application de Rn dans R définie dans un voisinage de x0Rn (sauf peut-être en x0); on dit que f tend vers lR quand x tend vers x0 si
ε>0 ηε>0 xRn vérifiant ||x-x0||<ηε  on ait  ||f(x)-f(x0)||<ε
On dit que l est la limite de f au point x0. On note
On dit que f tend vers +∞ (resp -∞)  si, A>0 ηA>0 xRn vérifiant ||x-x0||<ηε  on ait  f(x)>A (resp f(x)<-A)

 

Proposition 1 : Si f admet une limite l au point x0 alors cette limite est unique.

 

Théorème 1 : Si f et g sont deux applications d’un ouvert O de Rn dans R, et si f et g admettent des limites l et l’ en un point x0Rn, alors :

        λf admet la limite λl en x0 (λR)

        f+g admet la limite l+l’ en x0

        fg admet la limite ll’ en x0

        si l’≠0 alors f/g admet la limite l/l’ en x0

 

Définition 5 : Soit f une application de Rn dans R définie dans un voisinage de x0Rn; on dit que f est continue en x0 si  

 

Théorème 2 : Si f et g sont deux applications d’un ouvert O de Rn dans R, et si f et g sont continues en un point x0Rn, alors :

        λf est continue en x0 (λR)

        f+g est continue en x0

        fg est continue en x0

        si g(x0)≠0 alors f/g est continue en x0