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III-2. Fonctions continûment différentiables

 

Définition 6 : Soient f une application d’un ouvert de O de Rn dans R, a=(a1, a2, ..., an)O et i{1, 2, ... ,n}. On appelle ième dérivée partielle de f au point a la limite (si elle existe) de  quand xi → ai
Cette dérivée partielle est donc la dérivée (si elle existe) au sens ordinaire de la fonction partielle (d’une variable) fa,i. On note Dif(a) ou  ou encore  

Définition 7 : On dit qu’une application f d’un ouvert de O de Rn dans R, est continûment différentiable (ou de classe C1) si :

·     Les n dérivées partielles existent en tout point de O.

·     Les n fonctions que ces dérivées partielles définissent sont continues en tout point de O.

 

Théorème 3 : Soient f et g deux applications d’un ouvert O de Rn dans R, de classe C1, alors :

        f+g est classe C1et  

        fg est classe C1et  

        f/g est classe C1et  pour les point x de O tels que g(x) ≠0

 

Définition 8 : Soit f une application d’un ouvert O de Rn dans R, de classe C1, on appelle Gradient de f en un point aO le vecteur (la matrice ligne) des dérivées partielles de f en a. On dit aussi matrice jacobienne de format 1×n           :  

 

Définition 9 : Un point a de O est un point critique pour f si gradf(a)=0

 

Lemme 2 :
Soit O un ouvert de Rn et f: O → R de classe C1. Soit vi : I → R de classe C1 sur I (ouvert de R) i=1;2; ...;n   tq   tI     (v1(t), v2(t), ... , vn(t))O. Alors la fonction composée
 est de classe C1 et  

Cas particuliers :
n=2  x=x(t) et  y=y(t) 
n=3  x=x(t) y=y(t) et z=z(t)    

 

 

 

Lemme 3 :
Soit O un ouvert de Rn et f: O → R de classe C1. Soit g : I → R de classe C1 sur I (ouvert de R contenant f(O)). Alors la fonction composée F=gοf : O → R est de classe C1 et  i=1;2; ...;n  
 

Cas particuliers :
n=2   
n=3   

 

 

 

Lemme 4 :
Soit O un ouvert de Rn et f: O → R de classe C1. Soit xi : I → R de classe C1 sur I (ouvert de Rn) i=1;2; ...;n   tq   v=(v1, v2, ..., vn)I     (x1(v), x2(v), ... , xn(v))O. Alors la fonction composée  est de classe C1 et  

Cas particuliers :
n=2 
n=3   

 

 

Définition 10 : La matrice  est appelée matrice jacobienne du changement de variables défini par les vi.

 

Théorème 4 : (théorème des accroissements finis)
Soit O un ouvert de Rn et f: O → R une fonction de classe C1. Soit a=(a1, a2, ..., an)O et b=(b1, b2, ..., bn)Rn tq le segment [a  a+b]O Alors 
ou encore 
Cas particuliers :
n=2
n=3