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III-3. Dérivées partielles d’ordres supérieurs
Définition 11 : Soit f une application d’un
ouvert O de Rn
dans R. Supposons que f admette sur O une ième dérivée partielle Dif (ou ou encore
). Si Dif
admet, à son tour, une jème
dérivée partielle Dj(Dif)(a) en a (ou
ou encore
), on dit que f admet en a une (j,i)ème dérivée partielle seconde
que l’on note D2jif(a) ou
ou encore
On peut alors, de la même manière, définir les fonctions dérivées partielles
secondes, puis, selon le même procédé, les dérivées partielles et les fonctions
dérivées partielles triples (d’ordre trois), quadruples (d’ordre quatre) etc.
Définition 12 : On dit qu’une application f
d’un ouvert de O de Rn
dans R, est de classe Ck kN*
sur O si :
· Toutes les dérivées partielles d’ordre k existent en tout point de O.
· Toutes les fonctions que ces dérivées partielles d’ordre k définissent sont continues en tout point de O.
Lemme 5 : (lemme de Schwarz)
Si f est de classe C2 alors :
Définition 13 : Soit f une application d’un
ouvert O de Rn
dans R de classe C2 sur O. On appelle matrice
Hessienne de f en un point a de O la matrice carrée d’ordre n
Théorème 5 : (Formule de Taylor à l’ordre 2)
Soit O un ouvert (convexe) de Rn
et f: O → R de classe C2. Soit a=(a1, a2, ..., an)O et b=(b1, b2, ..., bn)
Rn tq le segment [a a+b]
O Alors :
ou encore (formulation algébrique) :
a
O
b
O
Cas particuliers :
n=2
Application : Calcul d’erreur (calcul approché)
Supposons que f admette des dérivées partielles premières continues et bornées
sur un ouvert O de Rn
. Si αi sont des majorants des |f’xi|
la formule des accroissements finis permet d’écrire :
et donc f(a) est une valeur approchée
de f(a+b) avec une erreur inférieure ou égale
Supposons que f admette des dérivées partielles secondes continues et bornées sur
un ouvert O de Rn
. Si αij sont des majorants des |
| la formule de Taylor à l’ordre 2 permet d’affirmer
que :
f(a)+gradf(a) est une
valeur approchée de f(a+b) avec une erreur inférieure ou
égale