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III-4. Extrema

Rappel :

Définition 14 : Soient A et B deux matrices carrées de même ordre n. On dit que B est congrue à A s’il existe une matrice inversible P telle que B=^tPAP.

 

Proposition 1 : La relation de congruence est une relation d’équivalence.

 

Remarque 1 : On parlera donc de deux matrices congruentes.

 

Proposition 2 : Soient A et B deux matrices congruentes alors

·     a) si l’une est symétrique alors l’autre aussi

·     b) A et B ont même rang.

 

 

Algorithme de « diagonalisation » :

Soit A=(aij)M_n(R). On considère la matrice augmentée M=(A|I)

Cas 1 : a₁₁≠0

     pour i=2, ..., n  appliquer à M l’opération l_i(a₁₁) suivi de l_i1(-a_i1) puis les opérations      correspondantes sur les colonnes c_i(a₁₁) suivi de c_i1(-a_i1). La matrice A sera réduite à la forme :  

Cas 2 : a₁₁=0, mais il existe un i>1 tel que a_ii≠0

     Appliquer à M l’opération l_i1 puis l’ opération correspondante sur les colonnes c_i1. Ceci place   a_ii en 1^ère ligne et 1^ère colonne de A et ramène au  1^er cas.

Cas 3 : i  a_ii=0

     Choisissons i et j tels que a_ij≠0 et appliquer à M l’opération l_ij(1) puis l’ opération      correspondante sur les colonnes c_ij(1). Ceci place 2a_ij dans la diagonale de A et ramène au  2^eme      cas.

Dans chacun des trois cas on arrive à réduire A à la forme  où B est une matrice symétrique d’ordre inférieur à celui de A. On recommence ce même procédé pour B et ainsi de suite jusqu’à « diagonaliser » A.

 

Définition 15 :Une matrice diagonale d’ordre n, diag(a₁, a₂, ... a_n)), est :

·     définie positive si a_i>0 pour tout i.

·     semi-définie positive si a_i≥0 pour tout i.

·     définie négative si a_i<0 pour tout i.

·     semi-définie négative si a_i≤0 pour tout i.

·     indéfinie s’il existe des a_i de signes opposés.

 

Définition 16 : Soit f une application d’un ouvert O de Rⁿ dans R, de classe C¹, on appelle Gradient de f en un point aO le vecteur (la matrice ligne) des dérivées partielles de f en a. On dit aussi matrice jacobienne de format 1×n           :  

 

 

 

Définition 17 : Soit f une application d’un ouvert O de Rⁿ dans R, on dit qu’un point aO est un extremum local pour f s’il existe une boule ouverte B centrée en a telle que :

·     ou bien xB   f(x)≥f(a)          auquel cas a est un minimum local

·     ou bien xB   f(x)≤f(a)          auquel cas a est un maximum local

Si de plus, on a xO   f(x)≥f(a)         a est un minimum global
Si de plus, on a xO   f(x) ≤f(a)        a est un maximum global

 

Proposition 2 : Si a est un extremum local pour f alors a est un point critique pour f.