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IV. Notions sur les équations différentielles
IV-1. Equations différentielles du premier ordre
Définition 1 : On appelle équation différentielle du premier ordre une
équation de la forme :
(E)
y’=f(x,y)
où x est une variable réelle, f une application d’un ouvert O de R2 dans R, y une fonction numérique réelle (inconnue)
de la variable x et y’ la dérivée de y.
Une solution de l’équation (E)
est la donnée d’un intervalle ouvert IR, et d’une application y : I → R
telles que
x
I
y’(x)=f(x, y(x))
Résoudre l’équation (E) c’est
trouver l’ensemble des solutions S(E) de (E). On dit aussi intégrer l’équation (E).
Définition 2 : Une solution (I, y) de (E) est dite maximale si pour tout
intervalle JI J≠I,
il n’existe pas de fonction y : I → R telle que y’(x)=f(x,
y(x))
x
J.
Remarque 1 : Pour une même équation on peut avoir plusieurs solutions maximales.
Théorème 1 : (existence et unicité)
Soit O un ouvert de R2
et soit une application continue telle que
existe et soit continue dans O. Alors pour tout (x0,y0) de O il existe une solution maximale, et une seule, de
l’équation (E) telle que y(x0)=y0 « condition
initiale ».