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IV-2. Equations différentielles linéaires du premier ordre

Définition 3 : Ce sont les équations de la forme : (E)  y’=f(x,y)=a(x)y+b(x) où a et b sont des applications définies et continues sur un intervalle IR. a(x) et b(x) s’appellent les coefficients de l’équation (E).

Définition 4 : Une équation linéaire (E) y’=a(x)y+b(x) est dite homogène si b=0 pour tout x de I. L’équation homogène associée à une équation linéaire (E) y’=a(x)y+b(x) est (EH) y’=a(x)y.

 

Lemme 1 : Si y1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1-y2 est une solution de (EH).

 

Corollaire 1 : La solution générale de l’équation (E) s’obtient en ajoutant à la solution générale de (EH) une solution (particulière) de l’équation (E).

 

Proposition 1 : Les solutions maximales de (EH) y’=a(x)y sur I sont les fonctions y(x)=keA(x) où k est une constante quelconque et A est une primitive de a sur I.

 

Théorème 2 :
La solution générale de l’équation (E)  y’=a(x)y+b(x) sur I est de la forme y(x)=keA(x)+l(x)eA(x) où k est une constante quelconque et l est une primitive fixée de b(x)e-A(x).

 

Cas de seconds membres particuliers :

 Si b(x)=esx
On cherche une solution particulière sous la forme :

               i.          y=λesx si s ≠ a

             ii.          y=λxesx si s = a

 Si b(x) est un polynôme de degré n,  b(x)=P(x)
On cherche une solution particulière sous la forme y=Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré :

               i.          n si a≠0

             ii.          n+1 si a=0

 Si b(x)=esxP(x) où P(x) est un polynôme de degré n
On cherche une solution particulière sous la forme :

               i.          y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n si s ≠ a

             ii.          y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+1 si s = a

Si b(x)= b1(x) + b2(x)

Soit y1 une solution particulière de (E1) : y’=a(x)y+b1(x) et y2 une solution particulière de (E2) : y’=a(x)y+b2(x) alors y1 + y2 est une solution particulière de (E) : y’=a(x)y+b(x)