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IV-3. Equations différentielles linéaires du second ordre

Définition 5 : Ce sont les équations de la forme : (E)  y’’+a(x)y’+b(x)y=c(x) où a , b et c sont des fonctions données définies et continues sur un intervalle IR et y est une fonction (inconnue) de la variable x, définie sur I.

Proposition 2 : Pour tout x de I, il existe une et une seule solution maximale y telle que y(x0)=y0 et y’(x0)=y’0 où y0 et y’0 sont deux réels fixés (conditions initiales)

 

Corollaire 2 : Si c(x)=0 pour tout x de I, l’ensemble des solutions de l’équation (E) est un espace vectoriel de dimension 2.

 

Définition 6 : Une équation linéaire du second ordre (E) : y’’+a(x)y’+b(x)y=c(x) est dite homogène si c=0 pour tout x de I. L’équation homogène associée à une équation linéaire (E) est (EH) : y’’+a(x)y’+b(x)y=0.

 

Lemme 2 : Si y1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1-y2 est une solution de (EH).

 

Conséquence : Pour avoir toutes les solutions de (E) il suffit de connaître toutes les solutions de (EH) et une solution (particulière) de (E).

 

Définition 7 : Une équation différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants est une équation de la forme : (E)  y’’+ay’+by=c(x) où a, b sont des constantes et c est une fonction donnée définie et continue sur un intervalle IR et y est une fonction (inconnue) de la variable x, définie sur I. On appelle équation caractéristique de (E) l’équation r2+ar+b=0

 

Théorème 3 : Soit Δ le discriminant de l’équation caractéristique de (E).

      Si Δ>0 (2 racines réelles distinctes r1 et r2) alors la solution générale de l’équation homogène (EH)            est donnée par : α1 et α2 sont deux réels quelconques.

      Si Δ=0 (1 racines réelles double r1) alors la solution générale de l’équation homogène (EH) est           donnée par : α1 et α2 sont deux réels quelconques.

     Si Δ<0 (2 racines complexes conjuguées r1=u+iv et r2=u-iv) alors si v≠0 la solution générale de     l’équation homogène (EH) est donnée par : α1 et α2 sont deux réels          quelconques.

 

Cas de seconds membres particuliers :

 Si c(x)=esx
On cherche une solution particulière sous la forme :

               i.          y=λesx si s n’est pas une racine de l’équation caractéristique

             ii.          y=λxesx si s est racine simple de l’équation caractéristique

           iii.          y=λxesx si s est racine double de l’équation caractéristique

 Si c(x) est un polynôme de degré n,  c(x)=P(x)
On cherche une solution particulière sous la forme y=Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré :

               i.          n si b≠0

             ii.          n+1 si b=0 et a≠0

           iii.          n+2 si b=0 et a=0

 Si c(x)=esxP(x) où P(x) est un polynôme de degré n
On cherche une solution particulière sous la forme :

               i.          y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n si s n’est pas une racine de l’équation caractéristique

             ii.          y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+1 si s est racine simple de l’équation caractéristique

           iii.          y=esxQ(x), où Q(x) est un polynôme de degré n+2 si s est racine double de l’équation caractéristique

Si c(x)= c1(x) + c2(x)

Soit y1 une solution particulière de (E1) : y’’+a(x)y’+b(x)y= c1(x) et y2 une solution particulière de (E2) : y’’+a(x)y’+b(x)y= c2(x) alors y1 + y2 est une solution particulière de (E) : y’’+a(x)y’+b(x)y= c(x)