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EXERCICE I :

Voici le début d'un questionnaire d'enquête.

1) Quelle est la population statistique étudiée ? Est-ce une population de taille finie ou de taille infinie? Quelles sont les caractéristiques en commun délimitant la population ?

2) Quel est l'individu statistique (unité sur laquelle l'observation a été effectuée) ?

3) Quelles sont les variables associées à ces questions ? Déterminer le type de chacune de ces variables. Dans quelle échelle de mesure sont-elles observées ?

 

EXERCICE II :

A) Une échelle de Guttman a pour objet soit d'ordonner les différentes réponses d'un sujet (Attitude, Sensations, Préférences ...) soit d'ordonner plusieurs sujets les uns par rapport aux autres d'après leurs réponses dans une situation déterminée identique pour tous (tests).

Considérons l'exemple d'un test composé de 20 questions, chaque sujet doit cocher l'une des deux réponses proposées par question (Q.C.M). Toute réponse juste vaut "1" ("0" sinon). La note finale obtenue par chaque sujet est le total des "1" obtenus.

1) Quelles sont les notes possibles que peut avoir un sujet?

2) De combien de façons possibles un sujet peut obtenir une note valant "0", valant "1", valant "20"?

3) Pouvez-vous donner une idée (ou encore mieux la réponse exacte) du nombre de façons possibles dont un sujet peut obtenir la note "4"?

B) Ayant fait passer ce test à un certain nombre de sujets on peut :

- considérer les questions comme équivalentes et ordonner les sujets d'après leurs notes. Comment dans ce cas ordonner les sujets en particulier ceux ayant obtenu une même note? ("4" par exemple)

- ordonner les questions (par ordre de difficulté par exemple) et selon cette classification il faut ordonner les sujets. Dans la plupart des tests (Psychologie, Sociologie ..) on considère que les sujets sachant répondre aux questions d'un niveau donné de difficulté sachent aussi répondre sans erreur à toutes les questions d'un niveau de difficulté inférieur. Telle est la propriété caractéristique des échelles de Guttman.

1) Donner quelques exemples d'une telle situation

2) En notant "+" à l'intersection d'une ligne et d'une colonne pour indiquer une réponse juste à une question donnée, compléter le tableau suivant pour illustrer une échelle de Guttman.(a, b, c, ... sont les questions placées dans le "bon" ordre;  0,1, 2, ...sont les notes finales)

0
1
2
3
4
..

 

C) Application : Le Consensus social

Dans l'exemple précédent on avait une hypothèse a priori  sur l'ordre des stades opératoires, mais on peut utiliser les échelles de Guttman même dans le cas d'absence d'une telle hypothèse a priori. C'est le cas par exemple (exemple étudié par la suite) de la construction d'une échelle d'opinion et le classement des personnes en fonction du pattern de réponses qu'elles fournissent.

Une échelle d'opinion est présentée à un groupe de 10 sujets qui doivent dire s'ils sont d'accord ou non avec les propositions suivantes :

I      Je souhaite vivement la suppression du baccalauréat dans sa forme actuelle           oui       non

II     Il parait préférable que le baccalauréat dans sa forme actuelle soit supprimé          oui       non

III   Je suis prêt à organiser des manifestations sur la voie publique pour
la suppression du baccalauréat dans sa forme actuelle                                                    oui       non

 

On obtient les résultats suivants :

       1          -          +          +         
       2          +          +          -         
       3          +          -          -         
       4          +          +          -         
       5          -          +          -         
       6          -          -          -         
       7          +          +          +         
       8          -          -          -         
       9          -          -          -         
       10        -          -          -         

 

1)  Totaliser le nombre de « + » par colonne et en déduire une échelle de Guttman reflétant le consensus du groupe.

2) Totaliser le nombre de « + » par ligne et reconstruire le tableau en tenant compte de l'ordre de l'opinion et de l'ordre sur les sujets.

3) Relever tous les cas de patterns non prévisibles d'après le modèle.

4) Commenter.

 

 

 

PROBLEME : étude d’une échelle ordinale

Partie A : Généralités.

Contrairement aux échelles nominales, les expressions telles que « plus grand que », « précède », « se place après » etc.… prennent un sens dans une échelle ordinale.

1) Pourquoi ?

2) Ce sens leur est-il conféré par le statisticien ou par l’utilisateur de l’outil statistique (psychologue, sociologue, biologiste, économiste etc. …) ?

Pour construire une échelle ordinale le statisticien (le mathématicien !) considère une relation R entre les observations (entre les individus) qui vérifie formellement les deux propriétés suivantes :
(a) Si cette relation R permet de dire que « A est plus grand que B » (on note ARB ou A≥B) elle ne doit pas permettre de dire que « B est plus grand que A » (sauf cas d’égalité !). On dit que la relation est antisymétrique.
Exemple 1 : Dans un tournoi (foot, tennis, échec etc. …) si une équipe A est « plus forte » qu’une équipe B (par exemple au niveau du score) alors on ne peut avoir l’équipe B est « plus forte » que l’équipe A (sauf cas d’égalité !).
(b) Si cette relation permet de dire que « A est plus grand que B » et que « B est plus grand que C » alors nécessairement on doit avoir « A est plus grand que C ». On dit que la relation est transitive.
3) Dans l’exemple 1 a-t-on une relation transitive ?
Exemple 2 : Mesure de la douleur
La « pompe à morphine » est un robot distributeur de morphine utilisable directement par le patient pour adapter le traitement anti-douleur à son besoin. Un réglage préalable du distributeur doit être fait par le personnel soignant. Pour effectuer ce réglage propre à chaque malade l’infirmière (ou le médecin …) demande au patient de positionner un curseur sur une « échelle de douleur » pour représenter ce qu’il ressent, et ceci un certain nombre de fois à différentes heures de la journée. Cette échelle est formée d’une réglette munie d’un curseur coulissant sur l’une des deux faces. Sur cette face un triangle (rouge !) indique une augmentation de la douleur dans le sens de la flèche représentée par l’angle aigu.

A chaque patient on associe quatre relevés (mesures !) de la douleur à 8h, 9h, 10h et 11h.

4) La relation « plus douloureux que » est-elle antisymétrique ? Transitive ?
5) Si deux patients donnent une même position du curseur ressentent-ils la même douleur ? S’ils indiquent deux positions différentes peut-on comparer leurs douleurs ?
6) Et si quelqu’un prétend que le curseur dépasse la réglette ?
La deuxième face de la réglette est graduée de façon régulière (c’est à dire ?) de 0 à 10 ainsi le curseur indique un nombre.

Pour un patient on obtient les relevés suivants :
8h   9h        10h      11h
4     5          8          9
7) Peut-on dire qu’à 10h il a eu plus mal qu’à 8h ?
8) Peut-on dire qu’à 10h il a eu deux fois plus mal qu’à 8h ?

9) Peut-on affirmer que l’augmentation de la douleur entre  10h et 11h est la même que celle entre  8h et 9h ?

10) Donner quelques exemples d’échelles ordinales dont au moins un exemple tiré de votre discipline principale (psychologie, sociologie).

 

Partie B : (Echelle de Thurstone, Méthode des comparaisons par paires)

On désire placer 5 métiers (A, B, C, D et E) sur une échelle ordinale qui rende compte de l’attrait que ces métiers ont pour des adolescents. Pour cela on considère un groupe de collégiens (en pratique on considère un échantillon représentatif de la population des adolescents). A chaque collégien on présente deux métiers X et Y et on lui demande lequel il préfère. On présente ainsi toutes les paires possibles (il y en a combien ?) à tous les sujets du groupe. On compte le nombre de sujets qui préfèrent X à Y et on calcule le pourcentage des ces sujets.

	A	B	C	D	E
A	0	60	30	20	20
B	40	0	0	0	0
C	70	100	0	60	30
D	80	100	40	0	70
E	80	100	70	30	0

Cette méthode est connue sous l’appellation de « comparaison par paires ». Elle est très utilisée dans les enquêtes d’opinion et principalement, en esthétique expérimentale.

On présente les résultats de cette étude sous la forme d’un tableau « à deux entrées » qui donne le pourcentage dans lequel le métier placé en haut de colonne a été préféré au métier indiqué sur la ligne à gauche.

 

1) Dans combien de cas (en pourcentage) le métier C a été préféré au métier D ?
2) Pourquoi sur la diagonale principale ne figurent que des zéros ?
3) En faisant la somme des valeurs symétriques par rapport à la diagonale principale que trouve-t-on ? Expliquer.
4)    a) Compléter la dernière ligne du tableau par le total des pourcentages par colonne. Quelle interprétation peut-on en donner ?
       b) Déduire de ce qui précède une échelle de préférence des métiers.
5) Refaire le tableau précédent en tenant compte de l’ordre dans cette échelle de préférence.
6) Si cette échelle répondait exactement au « modèle » d’une échelle ordinale que devrait-on observer ?
7) Relever sur le tableau que vous avez dressé (question 5) des cas où :
       a) l’antisymétrique n’est pas respectée                      b) La transitivité n’est pas respectée.
8) Conclure.