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Travaux Dirigés N°6
EL METHNI M.
EXERCICE I : (Voir TD 5)
Lors d'une certaine expérience, des sujets sont soumis à deux stimuli. On observe leur temps de réaction mesuré en secondes.
Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau suivant :
|
Sujets |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
Stimulus 1 |
35 |
29 |
30 |
31 |
33 |
32 |
33 |
34 |
32 |
33 |
32 |
30 |
28 |
34 |
33 |
33 |
|
Stimulus 2 |
35 |
36 |
34 |
34 |
36 |
37 |
33 |
35 |
35 |
35 |
35 |
33 |
36 |
37 |
34 |
35 |
On désigne par X la variable : temps de réaction au stimulus 1 et par Y la variable : temps de réaction au stimulus 2.
1) Calculer la variance et l’écart-type de X et de Y. Ce calcul est à faire en utilisant les fonctions statistiques
d’une calculatrice.
2) On considère le tri à plat
relatif à X. (Voir TD 2).
|
xi |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
|
|
ni |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
5 |
2 |
1 |
16 |
|
fi |
0,0625 |
0,0625 |
0,125 |
0,0625 |
0,1875 |
0,3125 |
0,125 |
0,0625 |
|
a) Calculer la variance et l’écart-type de X en utilisant les deux premières lignes
de ce tableau.
b)
Calculer la variance et l’écart-type de X
en utilisant la première et la troisième ligne de ce tableau.
3) Reprendre la question (2) pour la
variable Y.
EXERCICE II : (Voir TD 5)
On fait passer à 100 sujets une épreuve notée sur une échelle continue de 0 à 20. On obtient la distribution suivante :
0 0,5 1 1 1,5 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6,5 6,5 6,5
6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8,5 8,5 8,5 9 10
On désigne par X la variable : note obtenue à l’épreuve.
1) Calculer la variance et l’écart-type de X en utilisant une calculatrice !
2) On considère le tableau regroupant en 5 classes d’égales amplitudes les valeurs de X. (voir exercice II du TD 2).
Note |
[0 2] |
]2 4] |
]4 6] |
]6 8] |
]8 10] |
|
|
ni |
8 |
15 |
42 |
30 |
5 |
100 |
|
fi |
0,08 |
0,15 |
0,42 |
0,3 |
0,05 |
|
a) Calculer la variance et l’écart-type de X.
b)
Comparer avec (1) et commenter.
EXERCICE III : (D’après examen septembre 99) (voir exercice III TD 5).
|
Groupes |
G1 |
G2 |
G3 |
G4 |
|
|
7 |
3 |
7 |
5 |
|
N |
5 |
7 |
7 |
4 |
|
o |
2 |
7 |
5 |
8 |
|
t |
2 |
1 |
5 |
4 |
|
e |
2 |
7 |
6 |
4 |
|
s |
8 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
Pour une étude de la transmission de la pensée un
parapsychologue réalise l’expérience suivante : Il place deux personnes
dans deux pièces séparées, l’une des deux personnes écrit une lettre (choisie
parmi les 26 lettres de l’alphabet latin), la deuxième personne écrit alors une
lettre (qui devra être la même si effectivement il y a transmission de la
pensée et dans ce cas on dit qu’il y a réussite). Pour chaque couple il répète
l’expérience dix fois, et il note le nombre de réussites. Il teste 24 couples
classés en quatre groupes :
G1 : Le groupe des couples homme-homme
G2 : Le groupe des couples homme-femme
G3 : Le groupe des couples femme-homme
G4 : Le groupe des couples femme-femme
Il obtient les résultats ci-contre :
1) Calculer la variance et
l’écart-type des notes par groupe.
2) Calculer la variance inter et la
variance intra. En déduire la la variance globale.
3) Calculer directement la variance
globale et comparer.
EXERCICE IV :
Quelle n’a pas été la surprise de cette institutrice
qui retrouva 4 ans plus tard exactement les mêmes élèves qu’elle avaient au CP!
Mais sa surprise fût encore plus grande quand elle remarqua qu’ils ont tous
grandi en doublant de taille!(Est-ce bien réaliste ?). Le soir ce sujet ne
manqua pas de revenir dans la discussion, et voilà que sa fille (étudiante
brillante en DEUG) lui rétorqua : « mais maman c’est super! Comme ça je
n’aurai pas à recalculer la moyenne et la variance des âges et des tailles
cette année puisqu’on a celles de l’année du CP »
Comment va-t-elle s’y prendre ?
EXERCICE V : (Voir TD 5)
Afin d'établir un rapport éventuel entre l'âge et les loisirs un psychosociologue enquête auprès d'une population de 20 personnes et obtient les informations suivantes :
|
Sujet |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
X: Age |
12 |
14 |
40 |
35 |
26 |
30 |
30 |
50 |
75 |
50 |
30 |
45 |
25 |
55 |
28 |
25 |
50 |
40 |
25 |
35 |
|
Y: Loisir |
S |
S |
C |
C |
S |
T |
T |
L |
L |
L |
T |
C |
C |
C |
S |
L |
L |
C |
T |
T |
1) Calculer la variance et l’écart-type des âges X. Ce calcul est à faire en utilisant
les fonctions statistiques d’une calculatrice.
2) On considère le tri à plat (voir
exercice I TP 2).
|
xi |
12 |
14 |
25 |
26 |
28 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
75 |
|
|
ni |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
20 |
|
fi |
0,05 |
0,05 |
0,15 |
0,05 |
0,05 |
0,15 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,15 |
0,05 |
0,05 |
|
a) Calculer la variance et l’écart-type de X en utilisant les deux premières lignes
du tableau.
b) Calculer la variance et
l’écart-type de X en utilisant la
première et dernière ligne du tableau. Comparer et commenter
|
S |
C |
T |
L |
|
12 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) On reprend le tableau (à 2 dimensions) donnant la distribution de l’âge par type de loisir.
Calculer la variance des âges par type de loisir. Peut-on retrouver la variance et l’écart-type des âges des 20 sujets à partir de ces 4 variances par type de loisir ? (Question ouverte dont la réponse sera traitée ultérieurement)
EXERCICE VI : (Voir TD 5)
Le tableau suivant fournit la mesure, en dixième de mm, de la finesse de discrimination sensorielle de 105 sujets. (On pose sur la peau du sujet les deux pointes d’un compas plus ou moins rapprochés et on mesure la distance minimale perçue par le sujet).
|
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
Finesse |
ni |
|
0,1 |
1 |
3,0 |
1 |
5,6 |
2 |
8,6 |
3 |
13,5 |
1 |
|
0,2 |
2 |
3,6 |
1 |
5,7 |
2 |
8,7 |
1 |
14,0 |
1 |
|
0,4 |
2 |
3,7 |
1 |
5,8 |
2 |
8,8 |
3 |
14,2 |
1 |
|
0,6 |
3 |
3,9 |
1 |
5,9 |
1 |
9,5 |
1 |
15,9 |
1 |
|
0,7 |
1 |
4,0 |
1 |
6,3 |
1 |
10,0 |
1 |
16,2 |
1 |
|
0,8 |
1 |
4,1 |
1 |
6,4 |
1 |
10,1 |
3 |
18,0 |
2 |
|
1,3 |
2 |
4,2 |
1 |
6,6 |
1 |
10,3 |
1 |
18,3 |
1 |
|
1,5 |
3 |
4,3 |
3 |
6,7 |
2 |
10,6 |
1 |
18,6 |
1 |
|
1,7 |
1 |
4,4 |
1 |
6,8 |
1 |
10,9 |
1 |
1 |
|
|
1,8 |
1 |
4,6 |
2 |
7,1 |
3 |
11,5 |
1 |
19,8 |
1 |
|
1,9 |
1 |
4,7 |
3 |
7,7 |
1 |
11,6 |
1 |
20,0 |
1 |
|
2,4 |
1 |
5,0 |
1 |
8,0 |
2 |
11,9 |
1 |
21,0 |
1 |
|
2,5 |
1 |
5,2 |
1 |
8,2 |
2 |
12,4 |
1 |
35,0 |
1 |
|
2,6 |
2 |
5,3 |
1 |
8,3 |
1 |
12,8 |
1 |
49,9 |
1 |
|
2,7 |
1 |
5,4 |
1 |
8,5 |
2 |
13,1 |
2 |
67,8 |
1 |
1) Si ça vous amuse calculer la variance et l’écart-type de la finesse de discrimination sensorielle des 105 sujets en utilisant les fonctions statistiques d’une calculatrice ?
|
Finesse |
[0,1 9,8] |
]9,8 19,5] |
]19,5 29,2] |
]29,2 38,9] |
]38,9 48,6] |
]48,6 58,3] |
]58,3 68] |
|
|
ni |
75 |
24 |
3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
105 |
|
Ni |
75 |
99 |
102 |
103 |
103 |
104 |
105 |
|
2) On considère le découpage en 7 classes de même intervalle. (Voir TD 2).
a)
Calculer à partir de ce tableau la variance et l’écart-type de X. Comparer et commenter.
EXERCICE VII :
Donner un exemple de deux séries statistiques ayant même mode, même médiane et même moyenne mais des variances différentes. Commenter.