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EXERCICE I : (Voir TD 6)

Lors d'une certaine expérience, des sujets sont soumis à deux stimuli. On observe leur temps de réaction mesuré en secondes.

Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau suivant :

 

Sujets	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Stimulus 1	35	29	30	31	33	32	33	34	32	33	32	30	28	34	33	33
Stimulus 2	35	36	34	34	36	37	33	35	35	35	35	33	36	37	34	35

 

On désigne par X la variable : temps de réaction au stimulus 1 et par Y la variable : temps de réaction au stimulus 2.

Partie A : Construction et lecture du tableau de contingence

1) Donner la distribution conjointe du couple de variables (X,Y) sous la forme d’un tableau de contingence des effectifs et des fréquences.
2) Déduire du tableau précédent les distributions marginales et rappeler ce quelles représentent.
3) A partir de ces deux distributions marginales est-il possible de reconstruire le tableau de contingence? Donner un (contre)exemple.
4) Combien de sujets ont mis un temps de réaction de 33 s au 1^er stimulus et un temps de réaction de 35 s au 2^eme stimulus?
5) (question N°5 de l’exercice I du TP2) Combien de sujets ont mis un temps de réaction inférieur à 30 s au 1^er stimulus et un temps de réaction supérieur à 35 s au 2^eme stimulus?
6) Quel est le nombre (le pourcentage) des sujets qui ont réagi moins vite au 1^er stimulus qu’au 2^eme stimulus?
7) On considère la distribution des temps de réaction au 1^er stimulus de tous les individus ayant mis un temps de réaction de 35 s au 2^eme stimulus.
       a) Comment appelle-t-on une telle distribution? Combien a-t-on de distributions        conditionnelles différentes?
       b) Donner une représentation graphique de cette distribution, calculer sa moyenne et sa        variance. Comment désigne-t-on ces indices?

Partie B : Autres tableau de contingence et tableau à deux étapes

On décide de regrouper les observations de X en 3 classes [28   30] ; ]30   33] et ]33   35] que l’on appelle groupe 1, groupe 2 et groupe 3. (ou encore rapide, moyen et lent).

1) Dresser un tableau à deux étapes donnant les distributions de Y par groupe.
2) Dresser un tableau de contingence en tenant compte de ce nouveau groupement.
3) Calculer les moyennes conditionnelles par groupe et rappeler comment on en déduit la moyenne globale de Y.
4) Calculer les variances conditionnelles par groupe ainsi que les écart-types.

Partie C : Opérations sur les variables

A chaque individu on associe le temps moyen calculé à partir de ses deux temps de réaction au 1^er et au 2^eme stimulus. On définit ainsi une nouvelle variable Z.

1) Exprimer Z en fonction de X et Y. Déduire la moyenne de Z à partir des moyennes de X et Y.
2) Donner la distribution de Z et calculer sa variance. Etait-il possible de déduire cette variance à partir des variances de X et Y?

 

 

PROBLEME : Education et influence parentale, étude descriptive. (D’après examen juin 2000)

On se propose de décrire l’évolution intergénérationnelle de l’éducation des enfants. On associe à chaque individu d’une certaine population (société) un couple d’observations (le type d’éducation que cet individu donne à ses enfants ; le type d’éducation que cet individu a reçu quand il était enfant). On considère ainsi deux variables :
Variable X : Education actuelle, le type d’éducation que cet individu donne actuellement à ses enfants (en pratique on s’intéresse aux individus âgés de 25 à 40 ans mariés et ayant des enfants).

X : éducation actuelle	S	J	L
Y : origine	Sévère	Juste	Laxiste
S Sévère	60	30	20
J Juste	20	80	60
L Laxiste	80	50	100

Variable Y : Education d’origine, c’est le type d’éducation que cet individu a reçu quand il était enfant.
Dans notre étude on considère que la population (société) est découpée selon le type d’éducation en trois classes ou catégories sociales totalement ordonnées : S : classe correspondant à une éducation sévère, J : classe correspondant à une éducation juste et L : classe correspondant à une éducation laxiste. L’ordre que l’on considère traduit le degré de sévérité qui différentie les classes. Ainsi « juste » est considéré comme plus sévère que « laxiste » et « sévère » est considéré comme plus sévère que « juste » et que « laxiste ».
On adoptera le vocabulaire conventionnel (péjoratif !) suivant :
Sévère : pour qualifier les individus donnants une éducation sévère
Juste : pour qualifier les individus donnants une éducation juste
Laxiste : pour qualifier les individus donnants une éducation laxiste
Sévir : se dit d’un individu donnant une éducation plus sévère que celle qu’il a reçu, par exemple un individu ayant reçu une éducation laxiste et donnant une éducation juste. Faiblir : contraire de sévir. Changer : se dit d’un individu donnant une éducation différente que celle qu’il a reçu.
Stable : contraire de changer. Evolution : pour parler de l’évolution éducative.
Partie A : Lecture d’un tableau de contingence (d’une table d’évolution éducative)

On étudie une population (on prendra soin de ne pas observer à la fois un individu et ses parents) et on récapitule les observations dans le tableau de contingence (appelé aussi table d’évolution éducative) ci-contre :

1) Que représente le « 50 » situé à la 4^ème ligne et à la 3^ème colonne ?
2) Quel est le nombre total des individus de la population étudiée ?
3) Quel est le nombre d’individus qui donnent actuellement une éducation laxiste ?
4) Combien d’individus ont reçu une éducation laxiste ?
5) La diagonale principale de ce tableau est constituée de 60+80+100=240 individus. Comment les qualifier de point de vue évolution éducative ?
6) Combien d’individus ont sévi ?
7) Pourquoi, selon vous, en début de sujet il était mentionné entre parenthèses « On prendra soin de ne pas observer à la fois un individu et ses parents » ?

Partie B : Approche statistique de l’évolution éducative

1) Quel est le pourcentage des individus ayant changé de type d’éducation? (appelons évolution totale ce pourcentage)
2) a) Donner les deux distributions marginales
     b) Laquelle des deux traduit la structure éducative actuelle de la société (population) observée ?
     c) Quel est son mode ?
     d) Que représente l’autre distribution marginale ?
3) Comparer (au sens de la grandeur) les effectifs des classes sévères d’origine et actuelle, les effectifs des classes justes d’origine et actuelle et les effectifs des classes laxistes d’origine et actuelle. Que peut-on conclure de point de vue évolution éducative ?

xi	S	J	L
ni	20	80	60

4) On considère la distribution (conditionnelle) du type d’éducation actuelle des individus qui ont reçu une éducation juste :

  a) Quel est le nombre de ces individus ?
  b) Quel est le pourcentage des individus ayant changé de type d’éducation ?
  c) Comment qualifier l’évolution éducative de cette catégorie de la population : « tendance à sévir», ou « tendance à faiblir» ou « plutôt stable » ? Justifier votre réponse.
5) On considère la distribution (conditionnelle) du type d’éducation qu’ont reçu les individus actuellement laxistes :
  a) Donner cette distribution conditionnelle.     b) Quel est le nombre de ces individus ?
  c) Quel est le pourcentage des individus qui n’ont pas changé ?
  d) Quelle est le type d’éducation le plus représenté ?

Partie C : Tentatives de comparaison de l’évolution de deux sociétés (populations)

Dans toute la suite on considère deux sociétés (populations) A et B découpées de façon analogue en deux classes (catégories) sociales : S : Sévère et L : Laxiste. On observe les deux populations et on recueille les données présentées par les deux tableaux de contingence (tables d’évolution) suivants :

Y      X	S	L		Y      X	S	L
S	90	110		S	64	56
L	30	270		L	56	224

                                   Population A                                                                Population B

A certaines questions portant sur l’évolution éducative on fournira l’une des trois réponses suivantes :
(α) « La société A est plus évolutive en terme d’éducation que la société B » (β) « La société B est plus évolutive en terme d’éducation que la société A » (γ) « Les deux sociétés A et B ont la même évolution»
1) Comparaison s’appuyant sur les diagonales :
            a) La diagonale secondaire de la table d’évolution de la société A comporte 30+110=140 individus. Comment qualifier ces individus de point de vue évolution ? Quel pourcentage de la population A représentent-il ?
            b) Donner le pourcentage des individus ayant changé de catégorie éducative dans la société B.
            c) Comparer de point de vue évolution les sociétés A et B. Pour cela, donner, en le justifiant, l’une des réponses (α) ou (β) ou (γ).
2) Comparaison s’appuyant sur les colonnes :
            a) Dans la population A. Parmi les individus d’origine sévère quel est le pourcentage p₁ de ceux qui restent sévères ? Parmi les individus d’origine laxiste quel est le pourcentage p₂ de ceux qui deviennent sévères ?
            b) Dans la population B. Parmi les individus d’origine sévère quel est le pourcentage p’₁ de ceux qui restent sévères ? Parmi les individus d’origine laxiste quel est le pourcentage p’₂ de ceux qui deviennent sévères ?
            c) Calculer p₁-p₂ et p’₁-p’₂ . Comparer de point de vue évolution les sociétés A et B. Pour cela donner, en le justifiant, l’une des réponses (α) ou (β) ou (γ).
3) Comparer les réponses 1-c et 2-c et commenter.
Partie D :

On définit trois types d’évolution :

a) L’évolution totale : c’est le pourcentage des individus ayant changé de type d’éducation (voir question 1 partie B)
b) L’évolution structurelle : c’est la somme de tous les différentiels d’évolution. Un différentiel d’évolution pour une classe éducative étant égal à la différence entre le pourcentage que représente actuellement cette classe et le pourcentage que représente cette classe en tant qu’origine.
c) L’évolution nette (qualifiée de pure) : c’est la différence évolution totale - évolution structurelle
Montrer que le concept d’évolution structurelle (et par conséquent celui d’évolution nette) est un non-sens parfait !