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EXERCICE I : (D’après examen septembre 99)

Y  X	1	3	5
1	5	20	5
9	10	10	10
25	15	0	15

Une enquête portant sur des adultes âgés entre 30 et 40 ans a permis de recueillir les données représentées par le tableau de contingence ci-contre :
X désigne le nombre d’années durant lesquelles l’individu a fumé
Y désigne le nombre de cigarettes fumées par jour par cet individu durant ces années.
1) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.
2) Calculer le khi-deux (χ²), Que mesure cet indice? On détaillera les étapes suivantes :
         a) Tableau des C_ij.      b) Tableau des écarts O_ij - C_ij.           c) Tableau des signes des écarts
         d) Tableau des contributions absolues (χ²_ij) des différentes cases au χ².
         e) Tableau des contributions relatives (en %) des différentes cases au χ².
3) Calculer le phi-deux (²) et le phi () Quel est l’avantage de cet indice sur le précédent?
4) Calculer le V de Cramer et en donner une interprétation.

EXERCICE II : (D’après examen juin 01)

		Performance après le stage
		TM	M	N	B	TB
Performance avant le stage	TM	12	20	20	10	18
	M	18	30	30	15	27
	N	6	10	10	5	9
	B	15	25	25	12	23
	TB	9	15	15	8	13

La performance (physique, intellectuelle etc. …) est mesurée dans une échelle ordinale à 5 niveaux : TM<M<N<B<TB
(TM : Très Mauvaise, M : Mauvaise, N : Normale,
B : Bonne, TB : Très Bonne)
On évalue la performance de 400 individus avant et après un stage de formation et on obtient les résultats récapitulés dans le tableau de contingence ci-contre

 

1) Combien d'individus présentent une très bonne performance après le stage ?
2) Quel est le pourcentage des individus n'ayant pas changé de niveaux de performance ?
3) Quel est le pourcentage des individus ayant amélioré leur performance ?
4) Quel est le pourcentage des individus ayant au moins une bonne performance aussi bien avant qu'après le stage ?
5)  a) Donner les 5 distributions conditionnelles des performances après le stage de formation.
     b) Que remarquez-vous ?
     c) Si vous désirez étudier l'écart à l'indépendance des variables (X : performance avant le stage et Y : performance après le stage) justifier le fait que l'on peut regrouper les 3 premières lignes (des effectifs) du tableau pour former un nouveau tableau de contingence adéquat.
6) Calculer le χ² et commenter.

 

PROBLEME : Education et influence parentale, étude descriptive. (D’après examen juin 2000)

On se propose de décrire l’évolution intergénérationnelle de l’éducation des enfants. On associe à chaque individu d’une certaine population (société) un couple d’observations (le type d’éducation que cet individu donne à ses enfants ; le type d’éducation que cet individu a reçu quand il était enfant). On considère ainsi deux variables :
Variable X : Education actuelle, le type d’éducation que cet individu donne actuellement à ses enfants (en pratique on s’intéresse aux individus âgés de 25 à 40 ans mariés et ayant des enfants).

X : éduc actuelle	S	J	L
Y : origine	Sévère	Juste	Laxiste
S Sévère	60	30	20
J Juste	20	80	60
L Laxiste	80	50	100

Variable Y : Education d’origine, c’est le type d’éducation que cet individu a reçu quand il était enfant.
Dans notre étude on considère que la population (société) est découpée selon le type d’éducation en trois classes ou catégories sociales totalement ordonnées : S : classe correspondant à une éducation sévère, J : classe correspondant à une éducation juste et L : classe correspondant à une éducation laxiste. L’ordre que l’on considère traduit le degré de sévérité qui différentie les classes. Ainsi « juste » est considéré comme plus sévère que « laxiste » et « sévère » est considéré comme plus sévère que « juste » et que « laxiste ».
On adoptera le vocabulaire conventionnel (péjoratif !) suivant :
Sévère : pour qualifier les individus donnants une éducation sévère
Juste : pour qualifier les individus donnants une éducation juste
Laxiste : pour qualifier les individus donnants une éducation laxiste
Sévir : se dit d’un individu donnant une éducation plus sévère que celle qu’il a reçu, par exemple un individu ayant reçu une éducation laxiste et donnant une éducation juste. Faiblir : contraire de sévir. Changer : se dit d’un individu donnant une éducation différente que celle qu’il a reçu.
Stable : contraire de changer. Evolution : pour parler de l’évolution éducative.

On étudie une population (on prendra soin de ne pas observer à la fois un individu et ses parents) et on récapitule les observations dans le tableau de contingence (appelé aussi table d’évolution éducative) ci-contre :

 

Partie E : Indépendance et écart à l’indépendance, évolution parfaite

On qualifie l’évolution de parfaite s’il n’y a aucune incidence de l’éducation reçue sur l’éducation donnée. Ceci se traduit, en statistique, par l’indépendance des deux variables.

1) L’évolution de la société étudiée est-elle parfaite ? Justifier votre réponse.
2) Dresser le tableau de contingence (théorique) correspondant à une évolution parfaite.
3) On désire comparer ce tableau calculé au tableau observé. On considère pour cela le rapport de l’effectif observé par l’effectif calculé correspondant. Appelons coefficient d’inertie ce rapport.
  a) Calculer ce rapport pour les « laxistes » issus des « laxistes » et pour les « laxistes » issus des « sévères » et conclure.
  b) Comment, dans le cas général, interpréter ce rapport s’il est proche de 0 ?
4) Terminer le calcul du χ² en explicitant toutes les étapes du calcul.

Partie F : Tentatives de comparaison de l’évolution de deux sociétés (suite de la partie C TD7)

Dans toute la suite on considère deux sociétés (populations) A et B découpées de façon analogue en deux classes (catégories) sociales : S : Sévère et L : Laxiste. On observe les deux populations et on recueille les données présentées par les deux tableaux de contingence (tables d’évolution) suivants :

Y          X	S	L		Y          X	S	L
S	90	110		S	64	56
L	30	270		L	56	224

                                   Population A                                                                Population B

1) Supposons que pour chacune des deux populations vous connaissez les indices suivants : les deux χ², les deux ² et les deux V de Cramer. Quel couple d’indices choisiriez-vous pour comparer les deux populations ? Justifier votre réponse.

EXERCICE II : (D’après examen Septembre 2003)

		Sensibilité
		Hyper sensible	Normal	Indifférent
âge	]5     10]	30	18	12
	]10   13]	40	24	16
	]13   16]	20	18	22

Le tableau de contingence ci-contre donne la répartition de 200 enfants selon leur âge et leur sensibilité. On veut étudier la dépendance entre ces deux variables.

 

1) a) Donner les distributions (conditionnelles) de la sensibilité selon les trois classes d’âge.
     b) En déduire, en le justifiant que l’on peut regrouper deux classes d’âge.
     c) Construire le tableau de contingence après regroupement.
2) Calculer, à partir du nouveau tableau de contingence, un indice mesurant l’écart à l’indépendance.