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Exercice I : 

Calculer les intégrales suivantes :

 

 

Exercice II : 

On considère les deux intégrales :  

1) Trouver deux relations entre I et J en intégrant par parties

2) En déduire I et J.

 

Exercice III : 

Pour tout nN, on considère l’intégrale :  

1) Calculer I₀.

2) Calculer I₁ par une intégration par parties

3) Montrer que pour tout nN* on a (3+2n)I_n=2nI_n-1. En déduire I_2, I₃ et I₄

 

Exercice IV : 

1) Calculer :  

2) Par une intégration par parties déduire de ce qui précède . Calculer F(π/4).

Exercice V : 

A tout couple (a,b) de réels strictement positifs, on associe  

1) Montrer, grâce à un changement de variable que :  I_(a,b)=I_(b,a)

2) Calculer I_(a,b) lorsque a=0 ou b=0

3) On suppose b≥1 ; exprimer I_(a,b) en fonction de I_(a+1,b-1)

4) En déduire la valeur de I_(a,n) pour nN*.