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EXERCICE I : (Voir TD 9)

Lors d'une certaine expérience, des sujets sont soumis à deux stimuli. On observe leur temps de réaction mesuré en secondes.

Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau suivant :

 

Sujets	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Stimulus 1	35	29	30	31	33	32	33	34	32	33	32	30	28	34	33	33
Stimulus 2	35	36	34	34	36	37	33	35	35	35	35	33	36	37	34	35

 

On désigne par X la variable : temps de réaction au stimulus 1 et par Y la variable : temps de réaction au stimulus 2.

 

Partie A : Cas des données individualisées

1) Tracer le nuage d’individus (des points) et placer le « centre de gravité ».
2) Calculer la covariance de X et Y.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.

X Y	33	34	35	36	37
28				1
29				1
30	1	1
31		1
32			2		1
33	1	1	2	1
34			1		1
35			1

Partie B : Cas d’une organisation en tableau de contingence

On considère le tableau de contingence donnant la distribution conjointe du couple (X,Y) (Voir TD8)

1) Calculer la covariance de X et Y.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.

 

Partie C : propriétés du coefficient de corrélation linéaire

Que devient le coefficient de corrélation linéaire précédent si :

1) On ajoute 3 à chaque valeur de X?
2) On multiplie chaque valeur de Y par 2?
3) On ajoute le couple (32,35) (centre de gravité) aux observations?
4) On ajoute plusieurs fois le couple (32,35) (centre de gravité) aux observations?

 

Partie D : Régression linéaire

1) Calculer les équations des deux droites de régression et tracer ces droites sur le nuage d’individus.
2) On supposant qu’un sujet mette un temps de réaction au stimulus 1 égal à 36 s, quel temps de réaction au stimulus 2 peut-on lui attribuer (prédire)?
3) On supposant qu’un sujet mette un temps de réaction au stimulus 2 égal à 31 s, quel temps de réaction au stimulus 1 peut-on lui attribuer (prédire)?

 

EXERCICE II : (D’après examen septembre 2003)

Le tableau de données ci-contre représente les notes attribuées par deux juges à dix sportifs lors d’une compétition.

Sportif	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Juge 1	72	65	80	84	74	68	82	68	76	71
Juge 2	76	63	84	87	79	69	81	71	73	77

1) Représenter le nuage des dix sportifs.
2) Calculer la moyenne arithmétique et la variance des notes de chacun des deux juges.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre les deux notes.
4) Sans faire de calculs, expliquer comment varie (croît, décroît, invariant) ce coefficient de corrélation linéaire dans les cas suivants :
  a) Si le sportif N°4 obtient la note 95 chez le juge 1 et la note 100 chez le juge 2.
  b) Si le juge 2, se trouvant trop généreux, baisse toutes ses notes de 4 points alors que le juge 1, se trouvant trop sévère, augmente toutes ses notes de 2 points.

 

PROBLEME : (D’après examen septembre 98)

Y  X	1	3	5
1	5	20	5
9	10	10	10
25	15	0	15

Une enquête portant sur des adultes âgés entre 30 et 40 ans a permis de recueillir les données représentées par le tableau de contingence ci-contre :
X désigne le nombre d’années durant lesquelles l’individu a fumé
Y désigne le nombre de cigarettes fumées par jour par cet individu durant ces années.

Partie A : Généralités

1) Quelles est la population statistique observée ? Combien d’individus comporte-t-elle ?
2) Combien d’individus ont fumé durant 5 ans?
3) Quel est le pourcentage des individus qui ont fumé au moins 9 cigarettes par jour?
4) Quel est le pourcentage des individus qui ont fumé au moins 9 cigarettes par jour pendant au moins 3 ans ?
5) Quelle est la nature de la variable Y et dans quelle échelle est-elle observée ?

Partie B : Etude des distributions marginales

yi	1	9	25
ni

1) Donner le tri à plat du nombre de cigarettes fumées par jour.

2) Calculer la moyenne y la variance σ²_Y et l’écart-type σ_Y.

 

xi	1	3	5
ni

3) Donner le tri à plat du nombre d’années durant lesquelles l’individu a fumé.

4) Calculer la moyenne x la variance σ²_xet l’écart-type σ_x.

Partie C : Etude de l’indépendance entre X et Y.

1) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.
2) Calculer le khi-deux (χ²) et interpréter.

Partie D : Etude d’une liaison symétrique entre X et Y.

1) Calculer la covariance entre X et Y et en déduire le coefficient de corrélation linéaire.
2) Comparer avec la partie (C) et commenter.