Précédent/ Suivant / Liste des exercices

 

PROBLEME : (D’après examen janvier 99)

Pour réaliser une étude sur l’impact d’une publicité on  observe une population de 40 individus. A chaque individu on présente l’affiche publicitaire en question et on lui demande de lui attribuer une note de 0 à 20. Parallèlement et à l’insu de cet individu, on mesure le temps (en secondes) qu’il a passé à regarder cette affiche. Ainsi à chaque individu i on associe un couple d’observations (x_i,y_i) où x_i désigne la note attribuée par cet individu à l’affiche et y_i le temps qu’il a mis à la regarder. On note X la variable note et Y la variable temps. On obtient les 40 couples d’observations suivants :

 

xi	4	4	4	5	5	5	5	5	5	5	5	5	7	7	7	7	7	7	7	10
yi	8	9	13	20	24	25	27	34	35	38	38	40	37	52	53	55	56	57	59	55

 

xi	10	10	10	10	10	10	11	11	11	11	12	12	14	14	14	14	15	15	15	15
yi	56	56	60	63	53	55	45	45	48	50	35	39	15	12	15	24	20	20	32	2

 

 

Partie A : Etude de la variable X : note

1) Quel est la nature de la variable note et dans quelle échelle est-elle observée ?
2) Organiser les valeurs de X en tri à plat et tracer un diagramme en bâtons.
3) Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de X.

Partie B : Etude de la variable Y : temps

1) Quel est la nature de la variable temps et dans quelle échelle est-elle observée ?
2) Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type de Y.
3) Calculer la médiane, le 1^er et le 3^ème quartile.
4) Tracer le box-plot en explicitant toutes les étapes.

Partie C : Etude d’une liaison linéaire entre X et Y.

On se propose de mettre en évidence une liaison linéaire entre X et Y.
1) Expliquer pourquoi le coefficient de corrélation linéaire est un indice approprié à cette étude.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire en explicitant les différentes étapes du calcul.
3) Que vous suggère ce résultat ?

Partie D : Approche graphique.

1) Donner une représentation graphique du nuage des individus et placer le centre de gravité (barycentre).
2) Que vous suggère cette représentation graphique ? Comparer avec la question (3) de la partie C.

Partie E : Etude d’une liaison dissymétrique entre X et Y.

On se propose de confirmer les résultats de la partie D par le calcul d’un indice approprié.

1) Expliquer pourquoi le rapport de corrélation est un indice approprié à cette étude.

Notes	[0   6]	]6   10]	]10  12]	]12  20]
			35
T			39
e			45
m			45
p			48
s			50

On regroupe les notes par classes.
2) Donner un tableau récapitulant les temps par classe de notes (voir ci-contre) :
3) Calculer la moyenne et la variance (conditionnelles) des temps dans chaque classe de notes.
4) Calculer la variance inter.
5) Calculer le rapport de corrélation η². 6) Commenter.

 

 

 

PROBLEME : (D’après examen janvier 98)

X  Y	9	10	11	12
3				20
5	8	8	4	20
10	20	16	8	36
15	12	8		20
17			4	16

Des étudiants passent une épreuve de statistique et une épreuve de psychologie. La correction des copies permet de dresser le tableau de contingence ci-contre où Y est la note de statistique et X celle de psychologie. (Les cases vides correspondent à des effectifs nuls).

Partie A : Généralités

1) Combien d’étudiants ont passé les deux épreuves ?
2) Quel est le pourcentage des étudiants ayant obtenu 10 en psychologie?
3) Parmi les étudiants ayant 10 en psychologie quel est le pourcentage de ceux qui ont eu 10 en statistique ? Quelle fraction de tous les étudiants représentent-ils ?
4) Quelle est la note de psychologie obtenue ou dépassée par 60 étudiants ?
5) Quel est le pourcentage des étudiants qui ont une meilleure note en statistique qu’en psychologie ?
6) On appelle note totale d’un étudiant la somme des deux notes obtenues par cet étudiant. Soit Z cette note.
  a) Donner l’expression de Z en fonction de X et Y.
  b) Combien d’étudiants ont eu une note totale : (*) égale à 28 ?  (**) égale à 15 ?

Partie B : Etude des distributions marginales

yi	9	10	11	12
ni	40	32	16	112

1) On considère le tri à plat des notes de statistique.

Calculer        a) la médiane Me_Y
                     b) la moyenne y
                     c) la variance σ²_Y et l’écart-type σ_Y.

xi	3	5	10	15	17
ni	20	40	80	40	20

2) On considère le tri à plat des notes de psychologie.

Calculer     a) la médiane Me_X
                   b) la moyenne x
                   c) la variance σ²_X et l’écart-type σ_X.

Partie C : Etude de la distribution de la note totale Z

Rappelons que la note totale Z d’un étudiant est la somme des deux notes obtenues par cet étudiant.

zi	14	15	16	17	19	20	21	22	24	25	27	28	29
ni	8							36		8	20

1) Déduire la moyenne z de Z à partir des deux moyennes x et y.
2) Donner le tri à plat de la note totale Z.

3) Quel est le pourcentage des étudiants qui ont une note totale supérieure ou égale à 22 ?
4) Quel est le pourcentage des étudiants qui ont une note totale strictement comprise entre 15 et 22 ?
5) Calculer la médiane Me_Z de Z ainsi que son 1^er et son 3^ème quartile (Q₁ et Q₃).
6) Calculer la variance σ²_Z de Z. A-t-on σ²_Z=σ²_X+σ²_Y ?

Partie D : Etude d’une liaison symétrique entre X et Y.

1) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.
2) Calculer la covariance entre X et Y.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
4) Donner l’équation de la droite de régression de  X en Y.
5) Donner l’équation de la droite de régression de  Y en X.
6) Quelle note attribueriez-vous en psychologie à quelqu’un qui a eu 14 en statistique?
7) Quelle note attribueriez-vous en statistique à quelqu’un qui a eu 16 en psychologie?
8) Etait-il bien sérieux de traiter les questions 4 ; 5 ; 6 et 7 ?

Partie E : Etude d’une liaison dissymétrique entre X et Y.

X  Y	9	10	11	12
G1
G2
G3

On regroupe les étudiants selon leur note de psychologie en trois groupes de niveau :
G₁ : groupe des étudiants ayant une note (en psychologie) inférieure ou égale à 5
G₂ : groupe des étudiants ayant une note (en psychologie) égale à 10
G₃ : groupe des étudiants ayant une note (en psychologie) supérieure ou égale à 15
1) Compléter le tableau de contingence ci-contre :

2) Calculer la moyenne (conditionnelle) de statistique dans chaque groupe de niveau.
3) Calculer la variance inter.
4) Calculer le rapport de corrélation η².

Partie F : Facultative (+2 points)

Interpréter le coefficient de corrélation linéaire et le rapport de corrélation.